Aritmetik Ortalama ve Eşitsizlik Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: n elemanlı bir veri grubunun aritmetik ortalaması \bar{X} = \frac{\text{Toplam Puan}}{n} formülüyle hesaplanır. İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinde bir değişkenin en büyük değerini bulmak için diğer değişkene tanım kümesindeki en küçük uygun değer verilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 2016 Yılı Verisiyle x Değerinin Sınırını Belirleme
Takımın 2016 yılı kriter puanı, 2016’dan önceki 5 yılın (2011, 2012, 2013, 2014, 2015) puanlarının ortalamasıdır. Takım 2016’da gruplara direkt katıldığı için bu ortalama 11’den büyüktür:
\frac{0 + 8 + x + 10 + 15}{5} > 11 \implies \frac{33 + x}{5} > 11
33 + x > 55 \implies x > 22
x bir tam sayı olduğundan alabileceği en küçük değer x = 23 olur.
Adım 2 — 2018 Yılı Verisiyle y’nin En Büyük Değerini Hesaplama
Takımın 2018 yılı kriter puanı, 2018’den önceki 5 yılın (2013, 2014, 2015, 2016, 2017) puanlarının ortalamasıdır. Takım 1. torbadan çekilişe katılamadığına göre kriter puanı 15’ten çok değildir (\le 15):
\frac{x + 10 + 15 + 12 + y}{5} \le 15 \implies \frac{x + y + 37}{5} \le 15
x + y + 37 \le 75 \implies x + y \le 38
y’nin en büyük tam sayı değerini alabilmesi için x’in en küçük tam sayı değeri olan 23 seçilir:
23 + y \le 38 \implies y \le 15
Buna göre y tam sayısı en çok 15 olabilir.
CEVAP: A) 15 (y_{\max} = 15)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “15’ten çok olması gerekir” koşulu sağlanmadığında eşitsizlik yön değiştirerek “küçük veya eşit (\le 15)” şeklinde modellenir. Toplamı sabit bir sınırla sınırlı iki değişkenden birinin maksimum olması, diğerinin minimum seçilmesine bağlıdır.
