- A
Üçüncü dereceden P(x) polinomunun sabit terimi -3’túr.
P(2x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayilar
toplamı5 olduğuna göre,
P(1) + P(-1)
toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 3
D) 4
E) 2
Soru Fotoğrafı:
Üçüncü dereceden P(x) polinomunun sorusunun çözümü
Kullanılan bilgiler:
- P(x), üçüncü dereceden polinomdur: P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
- Sabit terimi d = -3
- P(2x) polinomundaki çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı 5
- İstenilen: P(1) + P(-1) toplamı
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Polinomu yaz
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Burada d = -3 verilmiştir. Yani,
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 3
Adım 2 — P(2x) ifadesini yaz
P(2x) = a(2x)^3 + b(2x)^2 + c(2x) - 3 = 8ax^3 + 4bx^2 + 2cx - 3
Adım 3 — Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı 5
Çift dereceli terimler: x^2 ve sabit terim x^0 (0 çift sayıdır)
Dolayısıyla, çift dereceli terimler: 4bx^2 ve -3
Toplam katsayı: 4b + (-3) = 5
Buradan:
4b - 3 = 5 \rightarrow 4b = 8 \rightarrow b = 2
Adım 4 — P(1) + P(-1) ifadesini aç
P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) - 3 = a + b + c - 3
P(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 3 = -a + b - c - 3
Toplamları:
P(1) + P(-1) = (a + b + c - 3) + (-a + b - c -3)
= a - a + b + b + c - c -3 -3
= 2b - 6
Adım 5 — Sonucu bul
Bildik ki b = 2, o halde:
P(1) + P(-1) = 2 \times 2 - 6 = 4 - 6 = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Polinom terimleri derecelerine göre ayrılır
- P(1) + P(-1) ifadesi, tek dereceli terimlerin birbirini yok ettiği durumlardır
- Sabit terimlerin ve katsayıların işlemine dikkat edilmelidir
Sık Yapılan Hata:
- Çift dereceli terimlere sadece x^2 terimini dahil etmek, sabit terim olan 0. dereceli terimi gözden kaçırmak
- Katsayı toplamanın doğru yapılmaması
Başka örnek çözümü ister misin? 
Üçüncü dereceden P(x) polinomunun sabit terimi -3’tür. P(2x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, P(1) + P(-1) toplamı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Polinom katsayıları ve ifadelerin toplanması; tek/çift dereceli terimler tanımı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Polinomun genel biçimi ve P(2x) ifadesi
Polinom genel:
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P(2x) yaz:
P(2x)=a(2x)^3+b(2x)^2+c(2x)+d
Her terimi aç:
P(2x)=8a x^3+4b x^2+2c x+d
Adım 2 — Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı denklemi
Tanım: Çift dereceli terimler, dereceleri çift (0,2,4,…) olan terimlerdir. Bu polinomda çift dereceli terimler x^2 ve sabit terimdir.
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:
4b+d=5
Sabit terim verildi: d=-3
Denkleme d değerini yerine koy:
4b+(-3)=5
Şimdi çöz:
4b-3=5
Şimdi çöz:
4b=8
Sonuç:
b=2
Adım 3 — P(1)+P(-1) ifadesini hesapla
Kurulum:
P(1)=a+b+c+d
P(-1)=-a+b-c+d
Toplamı yaz:
P(1)+P(-1)=(a+b+c+d)+(-a+b-c+d)
Terimleri grupla:
P(1)+P(-1)=(a+(-a))+(b+b)+(c+(-c))+(d+d)
Basitleştir:
P(1)+P(-1)=0+2b+0+2d
Yaz:
P(1)+P(-1)=2b+2d
Bulduğumuz değerleri yerine koy: b=2, d=-3
Yerine koy:
2b+2d=2\cdot 2+2\cdot(-3)
Hesapla:
2\cdot 2=4
2\cdot(-3)=-6
Topla:
4+(-6)=-2
CEVAP: -2 (A şıkkı)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Polinom katsayıları
- Tanım: Polinomun her teriminin çarpanı.
- Bu problemde: P(2x) içindeki x^2 ve sabit terimin katsayıları kullanıldı.
- Tek/Çift dereceli terimler
- Tanım: Derecesi çift olan terimler (0,2,4,…) çift derecelidir.
- Bu problemde: P(2x) içindeki x^2 ve sabit terimlerin katsayıları toplandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata — Çift dereceli terimleri yanlış seçme
- Yanlış: P(2x) içindeki x terimini veya x^3 terimini çift terim kabul etmek.
- Doğru: Sadece derecesi 2 ve 0 olan terimler (x^2 ve sabit) alınmalı.
- Neden yanlış: Derece tanımı göz ardı ediliyor.
- Düzeltme: Terimlerin derecelerini kontrol ederek sadece çift derecelileri toplayın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?