Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir P() polinomu için, eşitlikleri geçerlidir

Maths Question
1
  1. B
    Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan
    bir P() polinomu için,
    p(1) = P(1) + 12
    P(0) = P) -3
    eşitlikleri geçerlidir.
    Buna göre, P() polinomu aşağıdakilerden hangisi-
    ne tamn bölünür?
    A)-1
    D)
x^{2} +x+1

B)

x^{2} + 1

C)

x^{2} + x

E)

X^{2} + 3x + 2

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli878×800 39.2 KB

2

Üçüncü Dereceden, Katsayıları Pozitif Tam Sayılar Olan Bir P(x) Polinomunun Tam Bölündüğü İfadenin Bulunması

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Polinomun Genel Hali ve Verilen Koşulların Yazılması
Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir polinom olduğu için:

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,\quad a,b,c,d \in \mathbb{Z}^+

Verilenler:

P^2(1) = P(1) + 12
P(0) = P(1) - 3

Burada P^2(1) ifadesi muhtemelen P(1)^2 anlamına geliyor.

Adım 2 — P(1) ve P(0) İçin İfade Yazalım

  • P(1) = a + b + c + d
  • P(0) = d

Verilen birinci eşitlik:

P(1)^2 = P(1) + 12 \implies (a + b + c + d)^2 = a + b + c + d + 12

Verilen ikinci eşitlik:

d = (a + b + c + d) - 3 \implies a + b + c = 3

Adım 3 — a+b+c=3 ve Katsayıların Pozitif Tam Sayı Olması
a,b,c pozitif tam sayılar ve toplamları 3 olmalı. Bu durumda mümkün olan tripletler:

  • (1,1,1)
  • (1,2,0) veya (2,1,0) gibi olamaz çünkü c,b,a pozitif tam sayı olmalı, 0 değil.
    Yani tek olası durum:
a=1, b=1, c=1

Adım 4 — P(1) Değerini ve d’yi Bulma

P(1) = a + b + c + d = 3 + d

Birinci eşitlikte yerine koyalım:

(3+d)^2 = 3 + d + 12 \implies (3+d)^2 = d + 15

Açalım:

(3+d)^2 = (3+d)(3+d) = 9 + 6d + d^2

Eşitlik:

9 + 6d + d^2 = d + 15
d^2 + 6d + 9 = d + 15
d^2 + 6d + 9 - d - 15 = 0
d^2 + 5d - 6 = 0

Adım 5 — d İçin Denklemin Çözümü

d^2 + 5d - 6=0

Diskriminant:

\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49

Kökler:

d = \frac{-5 \pm 7}{2}

İki kök var:

  • \frac{-5 + 7}{2} = 1
  • \frac{-5 - 7}{2} = -6 (Negatif, olamaz çünkü d pozitif tam sayı)

O halde:

d=1

Adım 6 — Polinomun Katsayıları ve Tam Bölündüğü İfadenin Belirlenmesi
Polinom:

P(x) = x^3 + x^2 + x + 1

Şimdi P(x)'in hangi ifadelere tam bölündüğünü kontrol edelim.

Adım 7 — Seçeneklerin İncelenmesi

  • A) x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
  • B) x^2 +1
  • C) x^2 + x
  • D) x^2 + x +1
  • E) x^2 + 3x +2 = (x+1)(x+2)

Adım 8 — Polinomun Kökleri ve Bölenleri Kontrolü
P(x) = x^3 + x^2 + x +1 polinomunu x^2 + x + 1 polinomuna bölelim.

Polinom bölme işlemiyle:

\frac{x^3 + x^2 + x +1}{x^2 + x + 1}

Bölüm: x, kalan: 0 (kontrol edelim),

x^3 + x^2 + x +1 = (x^2 + x + 1)(x) + 0

Gerçekten açarsak:

(x^2 + x + 1) \cdot x = x^3 + x^2 + x

Kalan:

(x^3 + x^2 + x +1) - (x^3 + x^2 + x) = 1 \neq 0

Kalan 1 olduğundan tam bölünmüyor.

Farklı şekilde ele alalım:

x = -1 için P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 +1 -1 +1 =0.
Yani (x+1) kökü var. Bu durumda polinom (x+1) ile tam bölünebilir. Seçeneklerde (x+1) kökü olan polinomlara bakalım:

  • A) x^2 -1 = (x-1)(x+1)
  • E) x^2 + 3x +2 = (x+1)(x+2)

Bu iki seçenekten hangisine tam bölünüyor?

Şimdi P(x) polinomunu seçeneklerden A) ile bölelim:
Polinom bölme uzunluk işlemi ile test edilir.

Alternatif olarak, P(x) = (x+1)(x^2 + \text{?} x + \text{?}) şeklinde olmalı.

Çarpımını deneyelim:

(x+1)(x^2 + m x + n) = x^3 + (m+1)x^2 + (m + n) x + n

Katsayılar eşit olmalı:

\Rightarrow a=1 \quad (x^3 \text{ katsayısı})
b = m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0
c = m + n = c = 1 \Rightarrow 0 + n = 1 \Rightarrow n =1
d = n = 1

Böylece

P(x) = (x +1)(x^2 + 1)

Yukarıdaki katsayılar pozitif ve tam sayılarla uyumlu. Bu nedenle uygun tam bölünen ifade B) seçeneği:

x^2 + 1

Sonuç:

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: B) x^2 + 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:light_bulb: Pro İpucu: Polinomun köklerini ve verilen değeri kullanarak faktörlere ayrılması problemi oldukça pratik hale getirir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Üçüncü dereceden, katsayıları pozitif tam sayılar olan bir P(x) polinomu için, P(1)^{2}=P(1)+12 ve P(0)=P(1)-3 eşitlikleri verilmiştir. Buna göre P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • P(1) polinomun katsayılar toplamına eşittir.
  • P(0) polinomun sabit terimidir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomu yaz ve verilenleri kur
Polinom olarak

P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

olarak alalım; burada a,b,c,d pozitif tam sayılardır.

P(1)=a+b+c+d
P(0)=d

Verilen eşitlik:

P(0)=P(1)-3
d=P(1)-3
d=(a+b+c+d)-3
0=a+b+c-3
a+b+c=3

Adım 2 — Katsayıların pozitif tam sayı olma koşulunu uygula
a,b,c pozitif tam sayılar ve toplamları 3 olduğuna göre en küçük pozitif tam sayı 1 olduğundan tek çözüm

a=1,\quad b=1,\quad c=1

Adım 3 — Sabit terimi bulmak için P(1) denklemini kullan
P(1) için

P(1)=a+b+c+d
P(1)=1+1+1+d
P(1)=3+d

Verilen diğer eşitlik:

P(1)^{2}=P(1)+12

Buna y=P(1)=3+d diyelim:

y^{2}=y+12
(3+d)^{2}=3+d+12
(3+d)^{2}
=9+6d+d^{2}
9+6d+d^{2}=15+d
d^{2}+6d+9=d+15
d^{2}+6d+9-d-15=0
d^{2}+5d-6=0

Bu zamana kadar tek işlemli satırlar kullandık. Denklemi çarpanlarına ayıralım:

d^{2}+5d-6=(d+6)(d-1)

Buna göre

d=1\quad \text{veya}\quad d=-6

d pozitif olduğundan

d=1

Adım 4 — Polinomu yaz ve bölenleri kontrol et
Böylece

P(x)=x^{3}+x^{2}+x+1
x^{3}+x^{2}+x+1
=x^{2}(x+1)+1(x+1)
=(x+1)(x^{2}+1)

Bu nedenle P(x) terimi x^{2}+1 polinomuna tam bölünür.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) x^{2}+1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. P(1)
  • Tanım: Bir polinomun tüm katsayılarının toplamına eşittir.
  • Bu problemde: P(1)=a+b+c+d olarak kullanıldı.
  1. P(0)
  • Tanım: Polinomun sabit terimidir.
  • Bu problemde: P(0)=d ve verilen eşitlikten a+b+c=3 sonucuna ulaşıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış: P^{2}(1) ifadesini P(P(1)) (yani bileşke) olarak almak.

  • Doğru: P^{2}(1) burada P(1)^{2} yani sayının karesidir.
  • Neden yanlış: Notasyon karıştırılırsa yanlış denklem kurulur.
  • Düzeltme: Önce ifadeyi açıkça P(1)^{2} şeklinde yazın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?