ÜÇGNDE ALAN
IADI = 6 br
IBCI = 12 br
m(Ĉ) = 30°
Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABD) kaç br^{2} dir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 E) 20
Şekilde IABI = IACI = 10, IBCI = 16, ICDI = 4 ise taralı alan nedir?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
7. Soru: Üçgende Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL:
- Geniş veya dar açılı üçgenlerde alan formülü:
\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Dik üçgende 30^\circ kuralı:
\text{Karşı Kenar} = \text{Hipotenüs} \times \sin(30^\circ) = \text{Hipotenüs} \times \frac{1}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B Köşesinden AC Doğrusuna İnen Yüksekliği Bulma
ABD üçgeninin tabanı [AD] kenarı kabul edilirse, bu tabana ait yükseklik B köşesinden AC doğrusuna indirilen dikmedir (h_B).
B köşesinden AC doğrusuna inilen dikme ile C köşesindeki 30^\circ’lik açı kullanılarak bir 30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgeni oluşur:
h_B = |BC| \cdot \sin(30^\circ)
h_B = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\text{ br}
Adım 2 — Alan(ABD) Değerini Hesaplama
Taban |AD| = 6\text{ br} ve bu tabana ait yükseklik h_B = 6\text{ br} olduğuna göre:
\text{Alan}(ABD) = \frac{|AD| \cdot h_B}{2}
\text{Alan}(ABD) = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (18\text{ br}^2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Dış Yükseklik
- Tanım: Bir üçgende bir kenara ait yükseklik, o kenarın uzantısına da inebilir.
- Bu problemde: ABD üçgeninde [AD] tabanına ait yükseklik, B köşesinden AC doğrusuna inen dikme olup 6\text{ br} olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
D noktasından BC’ye dik inerek ABD üçgeninin alanını bulmaya çalışmak
- Yanlış: D’den indirilen dikme sadece DBC üçgeninin yüksekliğidir, ABD üçgeninin alanını doğrudan vermez.
- Doğru: Tabanı [AD] = 6\text{ br} seçip B köşesinden inen ortak yüksekliği kullanmak işlemi tek adımda çözer.
- Neden yanlış: D noktasının AC üzerindeki tam yerini bilmeden parçalı alan hesabı gereksiz uzar.
8. Soru: İkizkenar Üçgen ve Taralı Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL:
- İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler.
- Pisagor Teoremi:
a^2 + b^2 = c^2
- Üçgende Alan Formülü:
\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — ABC İkizkenar Üçgeninin Yüksekliğini Bulma
|AB| = |AC| = 10\text{ br} olduğundan A köşesinden [BC] tabanına bir AH dikmesi indirilir (AH \perp BC).
İkizkenar üçgenin özelliğinden dolayı bu dikme tabanı iki eşit parçaya ayırır:
|BH| = |HC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ br}
Adım 2 — AH Yüksekliğinin Uzunluğunu Hesaplama
AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır:
|AH|^2 + |HC|^2 = |AC|^2
|AH|^2 + 8^2 = 10^2
|AH|^2 + 64 = 100
|AH|^2 = 36 \implies |AH| = 6\text{ br}
(Bu üçgen 6-8-10 özel dik üçgenidir).
Adım 3 — Taralı ACD Üçgeninin Alanını Hesaplama
Taralı ACD üçgeninin [CD] tabanı 4\text{ br}'dir. B, C, D noktaları doğrusal olduğu için A köşesinden CD uzantısına inen yükseklik de |AH| = 6\text{ br} olur:
\text{Alan}(ACD) = \frac{|CD| \cdot |AH|}{2}
\text{Alan}(ACD) = \frac{4 \cdot 6}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (12\text{ br}^2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkizkenar Üçgende Yükseklik-Kenarortay Bağıntısı
- Tanım: İkizkenar üçgende tepe açısından tabana inilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.
- Bu problemde: 16\text{ br} uzunluğundaki taban 8\text{ br} ve 8\text{ br} olarak ikiye ayrılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
CD tabanına ait yüksekliğin farklı bir uzunluk olduğunu düşünmek
- Yanlış: C köşesinden veya D köşesinden yeni bir dikme çizmeye çalışmak.
- Doğru: B, C, D noktaları aynı doğru üzerinde olduğu için A noktasından taban doğrusuna indirilen yükseklik (AH) her iki üçgen için de ortaktır.
- Neden yanlış: Aynı tepe noktasına sahip ve tabanları doğrusal olan üçgenlerin yükseklikleri eşittir.
Üçgende alan konusunu daha iyi pekiştirmek için benzer bir geniş açılı alan sorusu daha çözmemi ister misin?