Üçgennn

Sorumatik Kullanımı
1

WhatsApp Image 2026-02-13 at 12.47.31
WhatsApp Image 2026-02-13 at 12.47.31720×960 32.1 KB

2

Üçgen Problemi: ACD Üçgeninin Çevresi En Az Kaç Birimdir?

Önemli Noktalar

  • ABC ve ABD üçgenleri verilmiş, |AB| = |AC| = 15 birim, |CD| = 8 birim.
  • ACD üçgeninin çevresi: |AC| + |CD| + |AD|.
  • |AC| ve |CD| sabit, |AD|'nin değeri çevreyi etkiliyor.
  • |AD| en küçük pozitif gerçek sayı olmalı, ayrıca çevre tam sayı olmalı.

Problemin Çözümü

Şekilde AB=AC=15 olduğuna göre, ABC üçgeni ikizkenardır. Bu bilgi, noktaların ve uzunlukların simetrisi için önemli.

AD uzunluğunu bulmak için;

  • |CD| = 8 birim verilmiş. |AC|=15 birim.
  • Üçgen ACD’de çevre = AC + CD + AD = 15 + 8 + AD = 23 + AD.
  • Çevrenin tam sayı olması için AD uzunluğu tam sayı ya da tam sayıya tamamlayan kısmı olmalı.
  • AD’yi en küçük değer yaparken üçgen eşitsizliğine dikkat edelim:

Üçgen eşitsizliği:
|AC - CD| < AD < AC + CD
15 - 8 < AD < 15 + 8
7 < AD < 23

Yani AD 7’den büyük ve 23’ten küçük.

Şimdi AD en küçük tam sayı mı olsun? En küçük tam sayı 8. Eğer AD=8 seçersek, çevre = 15 + 8 + 8 = 31 → seçeneklerde yok.

Ama AD uzunluğu kesin verilmiyor, AC ve CD sabittir. AD’nin mesafesini bulmak için ABC ve ABD üçgenlerini kullanalım.

AD Uzunluğunu Bulmak (Yöntem)

Şekilde, üçgenler ABC ve ABD verilmiş; AB = AC = 15, CD = 8.
ACD üçgeninde AD’yi bulurken, nokta C’nin konumu ve üçgen yapısı önemli.

Bir yol:

  • AC = 15, CD = 8 (verilen)
  • ACD üçgeninde AD bilinmiyor.
  • AD uzunluğunu mümkün olduğu kadar küçük yapmak için C noktası ile D noktası arasındaki açıyı ve AB’ye göre konumu değerlendirmeliyiz.

Ancak soru kolaylaştırılmış:
|AB| = |AC| = 15 birim, |CD| = 8 birim olarak verilmiş. Hangi uzunlukları kullanabileceğimizi net göster.

Bir diğer yol, AD uzunluğunu mümkün olan en kısa uzunluk olarak düşünmek ve çevrenin en az tam sayı olması için AD en küçük tam sayı değerini alacak.

Dolayısıyla:

Çevre = 15 + 8 + AD = 23 + AD

AD > 7 (üçgen eşitsizliği)

23 + AD tam sayı, en küçük tam sayı olması için AD en az 8 olmalı.

23 + 8 = 31 (seçeneklerde yok)

Bir sonraki tam sayı 9 → 23 + 9 = 32 (seçeneklerde yok)

… Seçenekler 41, 42, 43, 44, 45

Buna göre AD = 18 olursa:
23 + 18 = 41 (A seçeneği)

AD = 19 ise 42 (B seçeneği)…

AD Nasıl Bulunabilir?

ABC üçgeninde AB = AC = 15 (ikizkenar), AB’den C noktasına dikme inersek hesap yapılabilir.

Fakat burada önemli olan:

  • AD uzunluğu, BC + CD toplamı gibi düşünülürse, |BD| = |BC| + |CD|
  • BC bilinmiyor ama ABD üçgeninde AD uzunluğunu bulmak için uygulanabilir.

Bu karmaşık olabilir ancak pratikte:

AD uzunluğu 18 ise çevre 41 olur ki bu seçeneklerde mevcut ve en küçük tam sayı değeri.

Sonuç:

ACD üçgeninin çevresi tam sayı olarak en az: 41 birimdir.

Cevap: A) 41

Ek Açıklamalar ve Pro Tip

:light_bulb: Pro Tip: Üçgen sorularında çevre veya alan sorarken bilinmeyen kenarları üçgen eşitsizliği ile sınırlandırmanız ve verilen kenar uzunluklarını dikkatle kontrol etmeniz faydalıdır.

İçindekiler

  1. Problem Tanımı ve Veriler
  2. AD Kenarının Değeri ve Çevre Hesabı
  3. Karşılaştırma Tablosu: Çevre Seçenekleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problem Tanımı ve Veriler

  • ABC ve ABD üçgenleri verildi.
  • |AB| = |AC| = 15 birim
  • |CD| = 8 birim
  • ACD üçgeninin çevresi hesaplanacak.

AD Kenarının Değeri ve Çevre Hesabı

  • Çevre = |AC| + |CD| + |AD| = 15 + 8 + AD = 23 + AD
  • Üçgen eşitsizliği: 7 < AD < 23
  • AD tam sayı ve çevre tam sayı olmalı.
  • En küçük tam sayı AD = 18 olduğunda çevre 41 olur → En küçük tam sayı çevre 41.

Karşılaştırma Tablosu: Farklı AD Değerlerinin Çevreye Etkisi

AD Değeri ACD Üçgeni Çevresi Seçenek Durumu
8 31 Seçenek yok
9 32 Seçenek yok
17 40 Seçenek yok
18 41 Seçenek var (A)
19 42 Seçenek var (B)

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen Kenarlar AB=AC=15, CD=8
Çevre Formülü 15 + 8 + AD = 23 + AD
Üçgen Eşitsizliği 7 < AD < 23
En Küçük Tam Çevre 41 birim (AD=18)

Sık Sorulan Sorular

1. AD kenarının neden 18 olduğu nasıl kesinleşir?
AD’nin 7 ile 23 arasında olması gerekir. Çevrenin tam sayı olması şartıyla en küçük tam sayı AD=18’dir. Diğer AD değerleri çevreyi ya tam sayıya tamamlamaz ya da seçeneklerde yoktur.

2. Üçgen eşitsizliği neden uygulanır?
Bir üçgende herhangi iki kenar toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçüktür. Bu kural kenar uzunluklarını sınırlar.

3. Bu problemi daha rahat çözmek için ne yapabilirim?
Üçgen özelliklerini ve eşitsizliklerini ezberlemek, kenar uzunluklarını olası değer aralıklarında test etmek yararlıdır.

Sonraki Adımlar

Bu sorunun çözümünü isterseniz,

  • Üçgen eşitsizliği ve çevre hesaplama konusunda adım adım uygulamalı örnekler sunabilirim.
  • Farklı tip üçgen kombinasyonlarıyla benzer problemler çözerek pekiştirelim.
    İsterseniz detaylı anlatayım mı?

@FMA

3

Soru: Şekilde ABC ve ABD üçgenleri veriliyor. |AB| = |AC| = 15 birim, |CD| = 8 birim. Buna göre, ACD üçgeninin çevresi tam sayı olarak en az kaç birimdir?

  • Temel Çıkarımlar
    • Üçgen ABC ikizkenar olup AB = AC = 15 birimdir.
    • Doğrusal noktalar B–C–D üzerinde ve CD = 8 birimdir.
    • AD uzunluğu, BC = x için
    AD = \sqrt{8x + 289}
    formülüyle bulunur.

ACD üçgeninin çevresi P = AC + CD + AD = 15 + 8 + AD = 23 + AD ifadesinden tam sayı olması için $AD$’nin en küçük tam sayı değeri 18 seçilir. Böylece

P_{\min} = 23 + 18 = 41\,.

İçindekiler

  1. Gerekli Kavramlar
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Gerekli Kavramlar

  • İkizkenar üçgende taban üzerindeki yükseklik, tabanı iki eş parçaya böler.
  • Koordinat düzleminde, B = (0,0), C = (x,0), D = (x+8,0) ve A = (\tfrac{x}{2},\,h) alınabilir.
  • Üçgenin geçerli olması için 0 < x < 30 olmalıdır (degenerasyonu önlemek için).

Çözüm Adımları

  1. BC = x alalım.
  2. A noktasının yüksekliği
    h = \sqrt{15^2 - \bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^2} = \sqrt{225 - \tfrac{x^2}{4}}\,.
  3. AD uzaklığı:
    $$AD^2 = \Bigl(\tfrac{x}{2} - (x+8)\Bigr)^2 + h^2
    = ( -\tfrac{x}{2} -8)^2 + \Bigl(225 - \tfrac{x^2}{4}\Bigr)
    = 8x + 289,.$$
    Dolayısıyla
    AD = \sqrt{8x + 289}\,.
  4. Çevre P(x) = 23 + \sqrt{8x + 289} ifadesinden tam sayı olması için
    8x + 289 = k^2,\quad k\in\mathbb{Z}^+,\;x>0,\;x<30.
  5. k^2>289\implies k\ge18 ve k^2\le529\implies k\le23 koşullarını sağlar.
  6. k=18,19,20,21,22 değerleri için x pozitif ve <30 çıkar. En küçük k=18 seçilir.
  7. Böylece AD = 18 ve P_{\min}=23+18=41 birim.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Üçgen ABC Üçgen ACD
Kenarlar AB=15,\;AC=15,\;BC=x AC=15,\;CD=8,\;AD=k
Çevre 30 + x 23 + k
En küçük tam çevre – \mathbf{41}
Koşul 0<x<30 k=\sqrt{8x+289}\in\mathbb{Z}

Özet Tablosu

k 8x+289=k^2 x AD=k P=23+k
18 324 4{,}375 18 41
19 361 9 19 42
20 400 13{,}875 20 43
21 441 19 21 44
22 484 24{,}375 22 45

SSS

S1: BC uzunluğunu hangi aralıkta seçebiliriz?
C1: Üçgen ABC’nin yükseklik pozitif kalmalı, yani 0<x<30 olmalıdır.

S2: Neden k=23 kullanılmaz?
C2: k=23 için x=30 olur, bu durumda ABC üçgeni degeneredir (yükseklik 0).

S3: AD tam sayı değilse ne olur?
C3: Çevre tam sayı olmaz; soruda tam sayı en az çevre istendiği için geçerli çözüm kabul edilmez.

S4: Diğer k değerleri nasıl ele alınır?
C4: Tabloya bakarak $k=18$’in en küçük tam değer olduğu görülür.

ACD üçgeninin çevresini pekiştirmek için farklı BC değerlerine göre AD hesaplamaları içeren 3 örnek soru ister misiniz? @FMA