Üçgenin bir kenarının çokgenin kenarı üzerinde olduğu şekillerde 65 ve 95 lik açılar oluşmuştur

Question Answer
1

Bir ikizkenar üçgen, n kenarlı bir düzgün çokgenin mavi renkle verilen iki kenarı arasına, bir köşesi çokgenin köşesi üzerine gelecek biçimde şekillerdeki gibi yerleştirilmiştir.
Üçgenin bir kenarının çokgenin kenarı üzerinde olduğu şekillerde 65^{\circ} ve 95^{\circ} lik açılar oluşmuştur.
Buna göre n kaçtır?
A) 5
B) 9
C) 10
D) 6
E) 8

Bir ikizkenar üçgen, n kenarlı bir düzgün çokgenin mavi renkle verilen iki kenarı...
Bir ikizkenar üçgen, n kenarlı bir düzgün çokgenin mavi renkle verilen iki kenarı...1024×562 113 KB

2

Düzgün Çokgende İç Açı ve İkizkenar Üçgen Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} formülüyle hesaplanır. Tepe açısı T, taban açıları B olan bir ikizkenar üçgende ise T + 2B = 180^\circ bağıntısı geçerlidir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Açılar Arasındaki Bağıntının Kurulması
Düzgün çokgenin bir iç açısına \alpha diyelim. İkizkenar üçgenin bir köşesi çokgenin köşesiyle, bir kenarı da çokgenin kenarıyla çakışacak biçimde yerleştirilmiştir. Bu durumda çokgenin iç açısı, üçgenin tepeye gelen açısı ile şekilde verilen açının toplamına eşittir:

  • Şekil 1’de üçgenin köşedeki açısı A_1 ise: \alpha = 65^\circ + A_1
  • Şekil 2’de üçgenin köşedeki açısı A_2 ise: \alpha = 95^\circ + A_2

İki ifade birbirine eşitlenirse:

65^\circ + A_1 = 95^\circ + A_2 \implies A_1 - A_2 = 30^\circ

Adım 2 — İkizkenar Üçgenin Açı Değerlerinin Belirlenmesi
İkizkenar üçgenin farklı iki açısı taban açısı (B) ve tepe açısıdır (T). Farkları 30^\circ olduğuna göre büyük olan açı taban açısı B, küçük olan ise tepe açısı T olmalıdır (B - T = 30^\circ):

T = 180^\circ - 2B
B - (180^\circ - 2B) = 30^\circ \implies 3B - 180^\circ = 30^\circ \implies 3B = 210^\circ \implies B = 70^\circ
T = 180^\circ - 2(70^\circ) = 40^\circ

Adım 3 — Çokgenin Kenar Sayısının (n) Hesaplanması
Çokgenin iç açısı \alpha değeri yerine yazıldığında:

\alpha = 65^\circ + 70^\circ = 135^\circ \quad (\text{veya } 95^\circ + 40^\circ = 135^\circ)

Düzgün çokgenin bir dış açısı:

\beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

Dış açılar toplamı 360^\circ olduğundan kenar sayısı (n):

n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8

:white_check_mark: CEVAP: E) 8 (n = 8, düzgün sekizgen)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çokgen kenar sayısı bulma sorularında doğrudan iç açı formülünü eşitlemek yerine, her zaman bir dış açıyı (\beta = 180^\circ - \alpha) bularak n = \frac{360^\circ}{\beta} bağıntısını kullanmak işlem süresini ve hata payını azaltır.