Üçgende İç ve Dış Açıortay Teoremleri: Kollar ve Yollar Orantısı

YKS TYT YKS Geometri
1

İç açıortay teoremi nedir? Açıortayın böldüğü kenarlar ile yan kenarlar arasındaki oran nasıl kurulur?

2

[Özet Yanıt]

İç Açıortay Teoremi: Üçgende bir köşeye ait iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler:

\mathbf{\frac{c}{b} = \frac{x}{y}} \quad \text{veya} \quad \frac{\text{Sol Kol}}{\text{Sol Taban}} = \frac{\text{Sağ Kol}}{\text{Sağ Taban}}
  • Açıortay Uzunluğu (n_A): n_A^2 = b \cdot c - x \cdot y
3

İç Açıortay Teoremi ve Kenar Orantısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir ABC üçgeninde A açısına ait iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kesiyorsa:

\frac{c}{b} = \frac{m}{n} \quad \text{veya} \quad \frac{c}{m} = \frac{b}{n}

Burada:

  • c = |AB| (sol yan kenar)
  • b = |AC| (sağ yan kenar)
  • m = |BD| (sol yan kenara komşu taban parçası)
  • n = |DC| (sağ yan kenara komşu taban parçası)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Teoremin Tanımı ve Mantığı
Bir üçgende herhangi bir iç açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına iç açıortay denir. İç açıortay teoremi; bu açıortayın, karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranının, bu parçalara komşu olan yan kenarların uzunlukları oranına eşit olduğunu ifade eder.

Adım 2 — Orantının Kurulması
Orantı kurulurken kenarlar ile böldükleri parçalar arasındaki “sol-sağ” hizalamasına dikkat edilir:

\frac{\text{Sol Yan Kenar}}{\text{Sağ Yan Kenar}} = \frac{\text{Sol Taban Parçası}}{\text{Sağ Taban Parçası}} \implies \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}

Alternatif olarak, her yan kenar kendi altındaki taban parçasına da oranlanabilir:

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|}

Adım 3 — Açıortay Uzunluk Formülü (Ek Bağıntı)
İç açıortayın kendi uzunluğu n_A = |AD| olmak üzere:

|AD|^2 = |AB| \cdot |AC| - |BD| \cdot |DC| \implies n_A^2 = c \cdot b - m \cdot n

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
İç açıortay karşı kenarı, yan kenarların uzunlukları ile doğru orantılı olacak şekilde ikiye böler:

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • İç Açıortay: Bir köşedeki iç açıyı iki eşit ölçüye bölen doğru parçasıdır.
  • Doğru Orantı: Yan kenar ne kadar uzunsa, açıortayın tabanda o kenara komşu ayırdığı parça da o kadar büyüktür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Orantıyı çapraz kurmak; sol yan kenarı sağ taban parçasıyla eşleştirmek (\frac{|AB|}{|DC|} = \frac{|AC|}{|BD|}).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Yan kenar ile o kenara temas eden taban parçasını aynı hizada tutmak (\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|}).

Bu teoremle ilgili sayısal bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?