Üçgende Benzerlik ve Oran Problemi Çözümü

Maths Question
1

38074
38074720×960 46.5 KB

2

Üçgende Benzerlik ve Oran Problemi Çözümü

Görseldeki soruda bir üçgen içerisinde paralel doğru parçaları verilmiş ve belirli oranlar doğrultusunda bir ifadenin değeri sorulmaktadır.

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu soruda Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) kullanılır. Eğer bir üçgende tabana paralel doğrular çizilmişse, küçük üçgenlerin kenarlarının büyük üçgenin kenarlarına oranı, paralel doğruların birbirine oranına eşittir:

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|BC|}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar Oranlarını Belirleme
Soru kökünde verilen eşitlik: 3|AD| = 6|DE| = 2|EF| = 3|FB| şeklindedir. Bu değerleri ortak bir katta (6k) birleştirelim:

  • |AD| = 2k
  • |DE| = k
  • |EF| = 3k
  • |FB| = 2k

Bu durumda üçgenin sol kenarındaki toplam uzunluk |AB| = 2k + k + 3k + 2k = 8k olur.

Adım 2 — Paralel Doğru Parçalarının Uzunluklarını Hesaplama
Üçgenin tepe noktası A olduğu için, her bir paralel doğru parçasının |BC| cinsinden değerini benzerlik oranına göre bulalım (|DK|, |EL|, |FM|):

  • |DK| için: \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2k}{8k} \implies |DK| = \frac{2}{8}|BC| = \frac{1}{4}|BC|
  • |EL| için: \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2k+k}{8k} = \frac{3k}{8k} \implies |EL| = \frac{3}{8}|BC|
  • |FM| için: \frac{|AF|}{|AB|} = \frac{2k+k+3k}{8k} = \frac{6k}{8k} \implies |FM| = \frac{6}{8}|BC| = \frac{3}{4}|BC|

Adım 3 — İstenen Oranı Hesaplama
Soru bizden \frac{|DK| + |FM|}{|EL| + |BC|} oranını istiyor. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

\text{Pay} = |DK| + |FM| = \frac{1}{4}|BC| + \frac{3}{4}|BC| = \frac{4}{4}|BC| = 1|BC|
\text{Payda} = |EL| + |BC| = \frac{3}{8}|BC| + |BC| = \frac{3}{8}|BC| + \frac{8}{8}|BC| = \frac{11}{8}|BC|

Adım 4 — Final İşlemi

\text{Oran} = \frac{1|BC|}{\frac{11}{8}|BC|} = 1 \cdot \frac{8}{11} = \frac{8}{11}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \frac{8}{11}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Temel Benzerlik

  • Tanım: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğru, kestiği kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır.
  • Bu problemde: |AD|, |AE| ve |AF| uzunluklarının tüm kenar |AB|'ye oranları kullanılarak yatay paralellerin uzunlukları bulunmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Parça Oranlaması

  • Yanlış: |DK|'yi bulurken \frac{|AD|}{|DE|} oranını kullanmak.
  • Doğru: Her zaman tepe noktasından olan uzaklığın tüm kenara oranı (\frac{|AD|}{|AB|}) alınmalıdır.
  • Neden: Benzerlik küçük üçgen (ADK) ile en büyük üçgen (ABC) arasındadır.

Bu çözümdeki benzerlik mantığını pekiştirmek için benzer bir alan sorusu çözmemi ister misin?