Üçgende Açı ÖRNEK SORU ABC dik üçgen A, G, E doğrusal

YKS TYT
1

Üçgende Açı
in
ak
ÖRNEK SORU
CÖzÜM
ABC dik üçgen
[AB] L [AE]
A, G, E doğrusal
m(CFÈ) = 13
|AF|= |BF|
|AB| = |FE|
ÜNİTE
Yukarıdaki verilere göre, m(ÁCB) = x kaç derecedir?

Üçgende Açı in ak ÖRNEK SORU CÖzÜM ABC dik üçgen L A, G, E doğrusal m(CFÈ) = 13 ÜNİTE...
Üçgende Açı in ak ÖRNEK SORU CÖzÜM ABC dik üçgen L A, G, E doğrusal m(CFÈ) = 13 ÜNİTE...814×799 33.6 KB

2

ABC Dik Üçgeninde m(\widehat{ACB}) = x Açısının Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Muhteşem Üçlü Kuralı: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (|AF| = |BF| = |FC|).
  • Üçgende Orta Taban: Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu bu kenarın yarısıdır (FH = \frac{|AB|}{2}).
  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni: 30^\circ’nin karşısındaki dik kenar, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.
  • İki İç Açının Toplamı Bir Dış Açı: Bir üçgende herhangi bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Muhteşem Üçlü Bağıntısını Belirleme

  • ABC dik üçgeninde m(\widehat{BAC}) = 90^\circ olarak verilmiştir.
  • F noktası [BC] hipotenüsü üzerinde olup |AF| = |BF| olduğu bilinmektedir.
  • Bir dik üçgende hipotenüse çizilen doğru parçası böldüğü parçalardan birine eşitse, Muhteşem Üçlü gereği üçüncü parçaya da eşittir:
    |AF| = |BF| = |FC|
  • Bu durumda \triangle AFC bir ikizkenar üçgen olur ve m(\widehat{FAC}) = m(\widehat{FCA}) = x bulunur.

Adım 2 — Orta Taban Doğrusunu Çizme

  • F noktasından [AC] kenarına bir dikme indirelim ve dikme ayağına H diyelim ([FH] \perp [AC]).
  • \triangle AFC ikizkenar üçgen olduğundan indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır; dolayısıyla H noktası [AC]'nin orta noktasıdır.
  • F noktası da [BC]'nin orta noktası olduğundan, [FH] doğru parçası ABC üçgeninin orta tabanı olur:
    FH \parallel AB \quad \text{ve} \quad |FH| = \frac{|AB|}{2}

Adım 3 — 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Üçgenini Kullanma

  • Soruda |AB| = |FE| olarak verilmiştir.
  • Orta taban bağıntısından |FH| = \frac{|FE|}{2} elde edilir.
  • A, C, E noktaları doğrusal olduğundan [FH] \perp [AE] olur ve \triangle FHE bir dik üçgendir.
  • Hipotenüsü |FE|, dik kenarı ise \frac{|FE|}{2} olan bu dik üçgen bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgenidir:
    m(\widehat{FEH}) = m(\widehat{FEC}) = 30^\circ

Adım 4 — Dış Açı Kuralı ile x Değerini Hesaplama

  • \triangle FCE üçgeninde, C köşesindeki dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:
    m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{CFE}) + m(\widehat{FEC})
  • Verilen ve bulunan değerleri yerine yazalım:
    x = 13^\circ + 30^\circ = 43^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: x = 43^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Muhteşem Üçlü

  • Tanım: Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüs parçalarının uzunluklarına eşittir.
  • Bu problemde: |AF| = |BF| eşitliği verilerek F noktasının hipotenüsün tam orta noktası olduğu ve |FC| = |AF| eşitliği açığa çıkarılmıştır.

2. Orta Taban

  • Tanım: Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabana paralel ve tabanın yarısı uzunluğundadır.
  • Bu problemde: F ve H orta noktaları birleştirilerek |FH| = \frac{|AB|}{2} = \frac{|FE|}{2} bağıntısı kurulmuş ve 30^\circ açısı tespit edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: F Noktasının Hipotenüs Üzerinde Rastgele Bir Nokta Olduğunu Düşünmek

  • Yanlış: |AF| = |BF| eşitliğini görüp |FC| ile ilişkilendirmemek.
  • Doğru: Dik üçgende |AF| = |BF| ise muhteşem üçlüden dolayı |FC| uzunluğunun da bunlara eşit olduğunu fark etmek.
  • Neden Yanlış: Hipotenüsün ikiye bölündüğü görülmezse orta taban çizimi yapılamaz ve soru trigonometrik bağıntılara girmeden çözülemez hale gelir.

Bu çözümde kullanılan orta taban veya muhteşem üçlü kuralıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?

3

fotografda anlatılabilir mi

4

Şekil Üzerinde Adım Adım Geometrik Çözüm

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BAĞINTILAR:

  • Muhteşem Üçlü: Dik açıdan hipotenüse inen doğru parçası hipotenüsü iki eşit parçaya bölüyorsa kendisi de bu parçalara eşittir (|AF| = |BF| = |FC|).
  • Orta Taban Kuralı: Bir üçgende iki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası tabanın yarısına eşittir (|FH| = \frac{|AB|}{2}).
  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Üçgeni: Hipotenüsün yarısı uzunluğundaki dik kenarın karşısındaki açı 30^\circ’dir.
  • Üçgende Dış Açı Kuralı: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (x = 13^\circ + 30^\circ).

:brain: ŞEKİL ÜZERİNDEKİ ÇÖZÜM ADIMLARI:

        A (90°)
       / \
      /   \
     /  H  \
    /   |   \  x
   /    |    \ C
  /     |     / \
 /      | 13°/   \
B───────F───/─────E

Adım 1 — Şekilde Muhteşem Üçlü Eşitliğini Tamamlama

  • Şekilde A köşesi dik açıdır (90^\circ).
  • Hipotenüs üzerindeki F noktası için |AF| = |BF| çift çizgiyle gösterilmiştir.
  • Muhteşem Üçlü kuralı gereği hipotenüsün diğer parçası da bunlara eşittir:
    |AF| = |BF| = |FC|
  • Şekil üzerine uygulama: [FC] parçasına da çift çizgi işareti koyduğumuzda F noktasının [BC] kenarının tam orta noktası olduğu netleşir.

Adım 2 — Şekle Ek Çizim (Orta Taban) Ekleme

  • F noktasından karşıdaki [AE] doğrusu üzerine bir dikme indirelim ve değdiği noktaya H diyelim ([FH] \perp [AE]).
  • F noktası [BC]'nin orta noktası ve [FH] \parallel [AB] (her ikisi de [AE]'ye dik) olduğundan, [FH] doğru parçası ABC dik üçgeninin orta tabanı olur.
  • Orta taban formülü gereği:
    |FH| = \frac{|AB|}{2}

Adım 3 — Özel Dik Üçgeni (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ) Tespit Etme

  • Soruda |AB| = |FE| (üzerinde yuvarlak sembolü olan kenarlar) eşitliği verilmiştir.
  • |AB| yerine |FE| yazarsak:
    |FH| = \frac{|FE|}{2}
  • Oluşturduğumuz \triangle FHE dik üçgeninde, hipotenüs |FE| iken karşısındaki dik kenar |FH| bunun yarısıdır.
  • Hipotenüsün yarısı olan dik kenarın karşısındaki açı daima 30^\circ olduğundan:
    m(\widehat{FEH}) = 30^\circ

Adım 4 — Dış Açı Kuralı ile x Açısını Bulma

  • Şekildeki \triangle FCE üçgenine odaklanalım:
    • F köşesindeki iç açı: m(\widehat{CFE}) = 13^\circ
    • E köşesindeki iç açı: m(\widehat{FEC}) = 30^\circ
    • C köşesindeki dış açı: m(\widehat{ACB}) = x
  • Bir üçgende iki iç açının toplamı, komşu olmayan dış açıya eşittir:
    x = 13^\circ + 30^\circ = 43^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: x = 43^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Muhteşem Üçlü

  • Tanım: Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsten ayırdığı parçalara eşittir.
  • Bu problemde: F noktasının hipotenüsün tam orta noktası olduğunu anlamamızı sağladı.

2. Orta Taban

  • Tanım: Üçgende bir kenarın orta noktasından diğer kenara çizilen paralel doğru parçası, tabanın yarısı uzunluğundadır.
  • Bu problemde: |FH| = \frac{|AB|}{2} = \frac{|FE|}{2} eşitliğini kurarak 30^\circ’lik açıyı açığa çıkardı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: F Noktasından Ek Çizim Yapmamak

  • Yanlış: Verilen |AB| = |FE| eşitliğini doğrudan açı bağıntılarıyla çözmeye çalışmak.
  • Doğru: Birbirinden kopuk görünen bu iki eşit kenarı birbirine bağlamak için orta taban (FH) dikmesini çizmek.
  • Neden Yanlış: Geometride ayrı duran eşit uzunluklar genellikle bir dik üçgen veya orta taban yardımıyla bir araya getirilir; ek çizim yapılmazsa bağıntı kurulamaz.

Bu tip ek çizim gerektiren açı ve muhteşem üçlü sorularını pekiştirmek için bir örnek daha çözmemi ister misin?