Üçgen sorusunun çözümü: |CD| = x kaç cm’dir?
Soruda verilen üçgen ve bilgiler ışığında, |CD| = x uzunluğunu bulmamız isteniyor. Şimdi adım adım çözümü yapalım.
Verilenler:
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| \angle A = 135^\circ | Verilmiş |
| $ | AB |
| $ | AD |
| $ | BC |
| \angle B = 90^\circ | Dik açı (şekilde belirtilmiş) |
| $ | CD |
Çözüm Adımları:
1. Üçgenin yapısını ve açılarını inceleyelim:
- \triangle ABD üçgeninde \angle A = 135^\circ verilmiş.
- |AB| = 6 cm ve |AD| = 5\sqrt{2} cm.
- \angle B = 90^\circ olduğuna göre, \triangle ABC dik üçgendir.
2. \triangle ABD üçgeninde |BD| uzunluğunu bulalım:
Kosinüs teoremi kullanılır:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A
Yerine yazalım:
BD^2 = 6^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ
Hesaplayalım:
- 6^2 = 36
- (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50
- \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Buna göre:
BD^2 = 36 + 50 - 2 \times 6 \times 5\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
BD^2 = 86 + 2 \times 6 \times 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}
\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2, ve 2 ile \frac{1}{2} çarpımı 1 olduğundan:
BD^2 = 86 + 2 \times 6 \times 5 \times 1 = 86 + 60 = 146
Yani:
BD = \sqrt{146}
3. \triangle BCD üçgeninde |CD| = x uzunluğunu bulalım:
- \triangle BCD dik üçgen, çünkü BC ve CD dik.
- |BC| = 10.5 cm verilmiş.
- |BD| = \sqrt{146} cm olarak bulundu.
Pisagor teoremi ile:
BD^2 = BC^2 + CD^2
Yerine yazalım:
146 = (10.5)^2 + x^2
146 = 110.25 + x^2
x^2 = 146 - 110.25 = 35.75
x = \sqrt{35.75} \approx 5.98
Sonuç:
|CD| = x \approx 6 cm.
Özet Tablosu:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Kosinüs Teoremi ile BD hesaplama | BD = \sqrt{146} \approx 12.08 cm |
| 2 | Pisagor Teoremi ile CD hesaplama | x = \sqrt{35.75} \approx 6 cm |
Doğru cevap: 10 seçeneği (10 cm) değil, yaklaşık 6 cm’dir. Ancak seçeneklerde 6 cm yoksa en yakın değer 8 veya 9 olabilir. Soruda verilen seçenekler ve değerler net değilse, hesaplama sonucu yaklaşık 6 cm’dir.
Eğer seçenekler arasında 6 cm varsa, cevap 6 cm olarak işaretlenmelidir.
Umarım bu adım adım çözüm sorunuzun anlaşılmasını sağlar. Başka sorularınız olursa sormaktan çekinmeyin! @Fatma_Kurt1
Soru Özeti
Elimizde \triangle ABD var.
• AB = 5\sqrt2\, cm
• BD = 6\sqrt5\, cm
• \angle A = 135^\circ
D noktasından AD doğrusu üzerine dik inilen nokta $C$’dir. Yani DC\perp AC. Bulmamız istenen yüksekliğe CD=x diyelim.
Çözümü üç aşamada özetleyebiliriz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | AD uzunluğunu kosinüs teoremi ile bulma | AD = \sqrt{155}\;-\;5\, cm |
| 2 | Alanı $AB$–$AD$ kenarları ve \angle A ile hesaplama | S = \tfrac12\,AB\cdot AD\;\sin135^\circ = \tfrac{5}{2}\,(\sqrt{155}-5)\, cm² |
| 3 | Alan formülünden yükseklik $CD$’yi bulma | CD = \dfrac{2S}{AD} = 5\, cm |
———
1. AD uzunluğunu bulma (Kosinüs Teoremi)
\displaystyle BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\,AB\cdot AD\;\cos A
Yerine yazalım:
\displaystyle (6\sqrt5)^2 = (5\sqrt2)^2 + AD^2 - 2\,(5\sqrt2)\,AD\;\cos135^\circ
- (6\sqrt5)^2 = 180
- (5\sqrt2)^2 = 50
- \cos135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}
Buna göre
\displaystyle 180 = 50 + AD^2 - 2\cdot5\sqrt2\cdot AD\;\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)
\displaystyle 180 = 50 + AD^2 + 5\sqrt2\cdot AD\;\sqrt2
\displaystyle 180 = 50 + AD^2 + 10\,AD
\displaystyle AD^2 + 10\,AD -130 = 0
Çözüm:
\displaystyle AD = -5 + \sqrt{155}\quad(\text{pozitif kök})
2. Üçgenin alanını hesaplama
Alan formülü
\displaystyle S = \tfrac12\,AB\cdot AD\;\sin A
\displaystyle S = \tfrac12\,(5\sqrt2)\,(\sqrt{155}-5)\,\sin135^\circ = \tfrac12\,(5\sqrt2)(\sqrt{155}-5)\,\tfrac{\sqrt2}{2} = \frac{5}{2}\,(\sqrt{155}-5)\, cm²
3. Yüksekliği (CD) bulma
Alan aynı zamanda
\displaystyle S = \tfrac12\,AD\cdot CD
olduğuna göre
\displaystyle CD = \frac{2S}{AD}
= \frac{2\;\bigl(\tfrac{5}{2}(\sqrt{155}-5)\bigr)}{\sqrt{155}-5}
= 5\, cm
———
Cevap: CD = x = 5\, cm