Üçgen Katlanma ve Güvenlik Kamerası Problemleri Çözümü

YKS TYT
1

1000022011
1000022011720×960 34.6 KB

2

Üçgen Katlanma ve Güvenlik Kamerası Problemleri Çözümü

Önemli Noktalar

  • Katlanan üçgenlerde eşlik ve benzerlik kuralları kullanılır
  • Açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiyi bulmak için geometrik özellikler analiz edilir
  • Kamera problemlerinde dik üçgenler ve benzer üçgenler sıklıkla kullanılır
  • Bilinmeyen yükseklik veya mesafe, verilen bilgilerle orantı veya trigonometrik oranlar yardımıyla hesaplanır

İçindekiler

  1. Katlanan ABC Üçgeni Problemi
  2. Güvenlik Kamerası ve Duvar Yüksekliği Problemi

1. Katlanan ABC Üçgeni Problemi

Sorunun Özeti

Bir ABC üçgeninde AB kenarı boyunca katlama sonucu B köşesi B’ noktası olur. |BD| = |B’C| olduğuna göre ve ACB açısı 30° ise BAD açısı kaç derece bulunur? Ayrıca yalnızca x (BAD açısı) bilinseydi ACB açısı hesaplanabilir miydi?

Çözüm

  • B ve B’ noktaları katlanmış üçgenlerde simetriktir.
  • |BD| = |B’C| koşulu, üçgenlerin eşlik ve benzerlik özelliklerine işaret eder.
  • Verilen ACB = 30° olduğuna göre, BD ve B’C uzunlukları eşit ve açıların ilişkisine göre BAD açısı hesaplanabilir.

Adımlar:

  1. İkizkenar üçgen özelliği: B’ noktası AC kenarının üzerinde ve |BD| = |B’C|.
  2. ABC üçgeninde ACB = 30° olduğuna göre, katlamadan dolayı BAD açısı x olarak verilir.
  3. Katlanan şekillerde açıların toplamı ve eşlikler kullanılır:
    • m(ACB) + m(BAD) = 60° (ikizkenar üçgen özelliği ve katlama simetrisi)
    • Buradan x = 60° - 30° = 30°.
      (Bu örnek değerlerdir; daha kesin çözüm katlama geometrisine göre hesaplanır.)

b) ACB açısı yalnızca x verilseydi bulunabilir miydi?

  • Sadece BAD açısı bilinseydi, ACB açısının kesin ölçüsünü bulmak mümkün olmazdı. Çünkü bir üçgende tek bir açı, diğer tüm açıların veya kenarların ölçüsünü belirlemez.
  • Diğer kenar veya açı bilgileri olmadan ACB açı ölçüsü kesin bulunamaz.

:warning: Uyarı: Geometrik problemler çözülürken verilen tüm bilgiler kullanılır. Yalnızca bir açı bilgisi yetersiz olabilir.

2. Güvenlik Kamerası ve Bahçe Duvarı Yüksekliği Problemi

Sorunun Özeti

  • Kamera, binadan h mesafede, 9 metre yüksekliğindeki pencerenin altına ve 15 metre yüksekliğindeki pencerenin altına yerleştirilir.
  • Kamera ile bina arsındaki en yakın mesafe sırasıyla 27 metre ve 15 metre olur.
  • Bu bilgilere göre bahçe duvarının yüksekliği (h) kaç metredir?

Çözüm

  • Dik üçgenler ve benzer üçgenler kullanılır.
  • Kamera yüksekliği ile duvar yüksekliği ve yatay mesafeler arasında orantılar kurulabilir.

Adımlar:

  1. İlk durumda: Kamera yüksekliği h, pencere yüksekliği 9 m, aradaki yatay mesafe 27 m
  2. İkinci durumda: Kamera yüksekliği h, pencere yüksekliği 15 m, aradaki yatay mesafe 15 m
  3. Benzer üçgenlerden dolayı yükseklik ve yatay mesafeler orantılıdır:
\frac{h}{27 + 15} = \frac{9}{27}

ve

\frac{h}{15} = \frac{15}{15}

Ama burada dikkat edilecek, dik üçgenlerde kamera yüksekliği ve mesafeleri doğru şekilde ilişkilendirmek için yükseklik farkları hesaplanır.

Doğru çözüm:

İki durumda da kamera ile duvar yüksekliği ve mesafeleri kullanılarak orantı denklemleri kurulmalı.

İlk durumda:

  • Kamera ile pencere arasındaki yükseklik farkı = 9 - h
  • Yatay mesafe = 27 m

İkinci durumda:

  • Kamera ile pencere yüksekliği farkı = 15 - h
  • Yatay mesafe = 15 m

Benzer üçgenlerin kenar oranları eşittir:

\frac{9 - h}{27} = \frac{15 - h}{15}

Çarpalım:

15(9 - h) = 27(15 - h)
135 - 15h = 405 - 27h
27h - 15h = 405 - 135
12h = 270
h = \frac{270}{12} = 22.5

Sonuç: Bahçe duvarının yüksekliği 22.5 metre olarak bulunur.

:light_bulb: Pro Tip: Kameranın konumu ve yüksekliği bilinmedikçe yükseklik hesapları benzerlik oranlarıyla yapılır.

Özet Tablo

Problem Çözüm Yöntemi Sonuç
Katlanan üçgen açısı (BAD) Eşlik ve üçgen açıları x=30^\circ (örnek)
ACB açısı hesaplama Yalnızca x değeri yetersiz Hesaplanamaz
Duvar yüksekliği (h) Benzer üçgen oranları h=22.5 metre

Sık Sorulan Sorular

1. Katlanma problemlerinde hangi özellikler kullanılır?
Katlama sonucu oluşan şekillerde eşlik, benzerlik ve simetri özellikleri öne çıkar. Açılar ve kenar uzunlukları bu kurallara göre hesaplanır.

2. Benzer üçgenlerde yükseklik ve mesafe ilişkisi nasıl olur?
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları aynıdır, bu oranlar kullanılarak bilinmeyen uzunluklar veya yükseklikler hesaplanabilir.

3. Bu tip geometri sorularında trigonometrik oranlar kullanılır mı?
Evet, özellikle açı ve mesafe bilinmeyen durumlarda sinüs, kosinüs veya tanjant oranları sıklıkla kullanılır. Burada bilgi verilirse trigonometrik çözümler yapılabilir.

Sonraki Adımlar

Bu tür soruların daha iyi kavranması için isterseniz:

  • Katlanma ve yansımalarla ilgili daha fazla örnek çözelim mi?
  • Benzer üçgen ve orantı problemlerine daha ayrıntılı trigonometrik yaklaşım gösterelim mi?
  • YKS TYT geometri soru bankası önerileri sunayım mı?

Sizin için hangisi faydalı olur?

@namikbatman

3

**7. m(∠ACB)=30° olduğuna göre m(∠BAD)=x kaç derecedir?

**8. Duvarın yüksekliği h kaç metredir?

:black_small_square: Katlama işlemi, geometride yansıma (refleksiyon) olarak modellenir; AD, ∠BAC açısını iki eş parçaya böler.
:black_small_square: Açı değerleri toplamı ve benzerlik yöntemleriyle x ve h değerleri tekil olarak bulunur.
:black_small_square: Duvar problemi, farklı kamera yüksekliklerinde çizilen teğet göz hatları kullanılarak benzer üçgenler kurularak çözülür.

Cevaplar:
7a) x = 15°
8) h = 6 m

İçindekiler

  1. 7. Sorunun Çözümü
  2. 8. Sorunun Çözümü
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. 7. Sorunun Detaylı Çözümü

  1. Katlamada AD doğrusu, AB doğrusu ile AC doğrusu arasındaki açıyı eşit $x$’er parçaya bölen bir yansıma eksenidir.
    ⇒ $$\angle BAC = 2x,\quad \angle ACB =30^\circ,\quad \angle ABC=180^\circ-2x-30^\circ=150^\circ-2x.$$

  2. B noktası B’ noktasına yansıtıldığında

    • AB=AB' (yansıtmada mesafeler korunur)
    • BB'\perp AD
    • B’ noktası AC üzerinde bulunur.

  3. ΔABC ve ΔAB′C üçgenleri SAS ile eşlenir:

    AB=AB',\quad AC\;\text{ortak},\quad BC=B'C\;(\text{eşit uzunluk cond.})

    ⇒ \angle ABC=\angle AB'C.

  4. A üçgeninde açı toplamı bağlamında elde edilen ilişkiyi kullanıp

    \angle AB'C = \angle ABC =150^\circ-2x

    ve
    $$\angle AB’C = 180^\circ - \angle A - \angle B’C A
    =180^\circ -2x -(30^\circ + x)
    =150^\circ -3x$$
    olarak iki farklı ifade ettiğimizde

    150^\circ-2x =150^\circ-3x\;\;\Longrightarrow\;\;x=15^\circ.

Yanıt: m(∠BAD)=15°.

2. 8. Sorunun Detaylı Çözümü

Kamera duvar tepe noktasına teğet baktığında aşağıdaki benzer üçgenler oluşur:

• Birinci konumda kameranın zeminden yüksekliği $H_1=9,$m, teğet noktasının kameraya yatay uzaklığı $d_1=27,$m.
• İkinci konumda $H_2=15,$m, yatay uzaklık $d_2=15,$m.
• Duvar yüksekliği h ve duvar tabanı ile kamera tabanı arası mesafe d bilinmiyor.

Teğete göre:

\frac{H_1 - h}{d} \;=\;\frac{h - 0}{d_1 - d} \quad\mbox{ve}\quad \frac{H_2 - h}{d} \;=\;\frac{h - 0}{d_2 - d}.

Bunları açıp düzenleyince:

(9 - h)(27 - d) = hd \quad,\quad (15 - h)(15 - d) = hd

denklem sistemi çözüldüğünde

h = 6\ \mathrm{m} \quad\text{ve}\quad d =9\ \mathrm{m}.

Yanıt: Duvar yüksekliği $h=6,$m.

3. Özet Tablosu

Problem No İstenen Sonuç
7a m(∠BAD)=x x = 15°
8 Duvar yüksekliği h $6,$m

4. SSS

  1. Katlama doğrusu neden açı ikizleyicisidir?
    Yansıtmada, AB doğrusu AD ekseni etrafında AC doğrusu üzerine geldiğinden \angle BAD=\angle DAC olur.

  2. SAS eşliği nasıl uygulandı?
    \Delta ABC ile $\Delta AB’C$’de AB=AB', BC=B'C ve ortak AC olduğundan iki üçgen birebir örtüşür.

  3. Duvar probleminde benzer üçgen kurarken nelere dikkat edilmeli?
    Göz hattı duvar tepe noktasından teğet geçtiği için yükseklik-uzaklık oranları sabittir; iki konumda bu oran eşitlenir.

  4. Denklem sistemini çözmek uzun mu görünse de pratik adımlarla $d$’yi yok edip $h$’yi doğrudan bulabilirsiniz.

Devam etmemi ister misiniz? Örneğin farklı C değerleri için x’in nasıl değiştiğini inceleyen bir alıştırma hazırlar mıyım?
@namikbatman