Üçgen İçin |AB| Uzunluğu Hesaplama

YKS TYT
1

1000011270
10000112703072×4080 541 KB

2

Üçgen İçin |AB| Uzunluğu Hesaplama

Önemli Noktalar

  • Verilen üçgende ABC, açılar ve kenar uzunlukları var
  • |AC| = 5√2 cm, açı ölçüleri ∠B = 45° ve ∠C = 120°
  • Amaç, bilinmeyen x = |AB| uzunluğunu bulmak

Soru, üçgende iki açı ve bir kenar uzunluğu verilmişken diğer bir kenarın uzunluğunu soruyor. Bu tür problemlerde en uygun yaklaşım, Kosünüs Teoremi veya Sinüs Teoremi olabilir. Ancak önce toplam açıları kontrol edip kalan açı bulunur.

İçindekiler

  1. Üçgenin Açılarını ve Kenarlarını Belirleme
  2. Kosünüs Teoremi ile |AB| Hesaplama
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Üçgenin Açılarını ve Kenarlarını Belirleme

  • Üçgenin açıları toplamı 180°’dir.
  • Verilen açılar:
    • ∠B = 45°
    • ∠C = 120°
  • Bu durumda ∠A = 180° - (45°+120°) = 15°

Verilen kenarlar:

  • |AC| = 5√2 cm
  • |AB| = x cm
  • |BC| kenar uzunluğu belirtilmemiş.

Burada x aranan kenar: |AB|.

2. Kosünüs Teoremi ile |AB| Hesaplama

Kosünüs teoremi, herhangi bir üçgende;

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C

kuralıyla uygulanır.

Burada;

  • Kenarlar:
    • a = |AC| = 5\sqrt{2}
    • b = |AB| = x
    • c= |BC| bilinmiyor, ancak açı ve kenar ilişkisi ile kullanılacak

Öncelikle uygun açı ve kenar eşleşmesini belirleyelim.

Şekle göre açıların ucundaki kenarlar:

  • ∠C = 120°, karşısındaki kenar: |AB| = x
  • ∠B = 45°, karşısındaki kenar: |AC| = 5√2
  • ∠A = 15°, karşısındaki kenar: |BC|

Kosünüs teoremi açısı C için uygulanabilir:

|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \times |AC| \times |BC| \times \cos(120^\circ)

Ama |BC| bilinmiyor.

Alternatif olarak, Sinüs Teoremi kullanmak daha uygundur.

Sinüs Teoremi

Sinüs teoremi der ki:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Burada;

  • a = |BC|, karşısında ∠A = 15°
  • b = |AC| = 5\sqrt{2}, karşısında ∠B=45°
  • c = |AB| = x, karşısında ∠C=120°

Öncelikle |BC| uzunluğunu a olarak ifade edelim.

Sinüs teoremi:

\frac{|AC|}{\sin B} = \frac{|AB|}{\sin C}

Yerine koyarsak:

\frac{5\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{x}{\sin 120^\circ}

Bilinen değerler:

  • \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

O halde:

\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \implies \frac{5\sqrt{2} \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{2x}{\sqrt{3}}

Sadeleştirelim:

\frac{5 \sqrt{2} \times 2}{\sqrt{2}} = 5 \times 2 = 10

Yani,

10 = \frac{2x}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}

Cevap:

|AB| = 5√3 cm

Özet Tablo

Öğe Değer
∠A 15°
∠B 45°
∠C 120°
AC
AB
Kullanılan Teorem Sinüs Teoremi

Sık Sorulan Sorular

1. Neden Kosünüs Teoremi değil Sinüs Teoremi kullandık?
Çünkü kosünüs teoremi için üç kenardan iki tanesi ve aralarındaki açı gerekmektedir. Ancak elimizde iki açı ve bir kenar vardı; bu durum sinüs teoreminin daha uygun olduğu durumdur.

2. Açıların toplamı neden önemlidir?
Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için eksik olan açı kolayca hesaplanabilir. Bu açı diğer teoremlerde kullanılır.

3. Sinüs fonksiyonlarının değerlerini nasıl hatırlayabiliriz?
Özel açılar için \sin 30^\circ=1/2, \sin 45^\circ=\sqrt{2}/2, \sin 60^\circ=\sqrt{3}/2 olarak bilinmelidir.

Sonraki Adımlar

Benzer üçgen problemlerinde çözüm hızınızı artırmak için sinüs ve kosünüs teoremlerinin uygulamalarını derinlemesine incelemek ister misiniz?

@oguzhan_turker

3

[AB] = x kaç cm’dir?

Önemli Noktalar

  • Üçgende verilen açılar: ∠B = 45°, ∠C = 120°, dolayısıyla ∠A = 15°.
  • Bilinen kenar: AC = 5\sqrt2 cm (∠B’ye komşu değil, karşı kenar).
  • Sinüs Teoremi ile $AB = x = 5\sqrt3,$cm olarak bulunur.

x = 5√3 cm.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Sinüs vs Kosinüs Teoremi Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Açıları tamamlayalım:
    ∠A = 180° – (45° + 120°) = 15°.

  2. Sinüs Teoremi:

    \frac{AB}{\sin C} \;=\;\frac{AC}{\sin B}.

  3. Değerleri yerine koyalım:

    AB = \frac{AC \cdot \sin120°}{\sin45°} = \frac{5\sqrt2 \,\cdot\, \sin120°}{\sin45°} = \frac{5\sqrt2 \,\cdot\, \tfrac{\sqrt3}{2}}{\tfrac{\sqrt2}{2}} = 5\sqrt3.

  4. Sonuç olarak $x = AB = 5\sqrt3,$cm.

Sinüs Teoremi ve Kosinüs Teoremi Karşılaştırması

Özellik Sinüs Teoremi Kosinüs Teoremi
Kullanım Durumu Bir açı ile karşı kenar bilindiğinde İki kenar ve aralarındaki açı bilinince
Formül \displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
Avantaj Az bilgiyle (1 kenar + 2 açı) yeterli Üç kenar veya 2 kenar+1 açı durumunda

Özet Tablosu

Büyüklük Değer
∠B 45°
∠C 120°
∠A 15°
AC (b) $5\sqrt2,$cm
AB (c) = x $5\sqrt3,$cm

SSS

  1. Sinüs teoremi nedir?
    Üçgenin herhangi bir kenar uzunluğu ile karşısındaki açının sinüs değerinin oranının sabit olduğunu ifade eder.

  2. Kosinüs teoremi ne zaman kullanılır?
    Üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde veya üç kenar uzunluğu bilindiğinde uygulanır.

  3. Üçüncü açı nasıl bulunur?
    Açıların toplamı 180° olduğu için ∠A = 180° – (∠B + ∠C) formülü ile hesaplanır.

  4. Sonucun sadeleştirmesi nasıl yapıldı?
    \sin120°=\tfrac{\sqrt3}{2} ve \sin45°=\tfrac{\sqrt2}{2} değerleri yerine konup sadeleştirildi.

Farklı bir üçgende Sinüs Teoremi uygulamak ister misiniz?
@oguzhan_turker