Üçgen Döndürme Problemi: \alpha Açısını Bulma
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Döndürme Kuralı: Bir şekil döndürüldüğünde kenar uzunlukları ve açıları değişmez. Şekil ile yeni oluşan şekil eştir (ABC \cong A'B'C).
- İkizkenar Üçgen Özelliği: Bir köşeden döndürme yapıldığında, o köşeye bağlı kenarların uzunluğu değişmediği için ikizkenar üçgenler oluşur (Örneğin; |CB| = |CB'|).
- Üçgenin İç Açıları Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180^\circ’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Açıları Belirleme
Şekil-I’deki ABC dik üçgeninde m(\widehat{BAC}) = 20^\circ ve m(\widehat{ABC}) = 90^\circ olarak verilmiştir. Üçgenin iç açılar toplamından:
m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - (90^\circ + 20^\circ) = 70^\circ bulunur.
Adım 2 — Döndürme Sonrası Eşlikleri Yazma
Üçgen C köşesi etrafında döndürüldüğü için ABC ve A'B'C üçgenleri eştir. Bu durumda:
m(\widehat{A'CB'}) = m(\widehat{ACB}) = 70^\circ
|CB| = |CB'| (Döndürme merkezi C olduğu için bu kenarlar eşittir).
Adım 3 — İkizkenar Üçgeni Kullanma (CBB')
Şekil-II’de |CB| = |CB'| olduğu için CBB' üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Döndürme açısı \alpha olduğuna göre m(\widehat{BCB'}) = \alpha olur.
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir: m(\widehat{CBB'}) = m(\widehat{CB'B}).
Adım 4 — \alpha Açısını Bulma
Soruda B' \in [AC] olduğu belirtilmiştir. Bu, A, B', C noktalarının doğrusal olduğu anlamına gelir.
m(\widehat{ACB}) = 70^\circ olduğunu bulmuştuk. Döndürme işlemi sırasında C köşesi sabit kaldığından ve B noktası B' noktasına geldiğinden, aradaki açısı \alpha döndürme açısıdır.
Burada oluşan CBB' ikizkenar üçgeninde tepe açısı \alpha’dır. Ancak B' noktası AC doğrusu üzerinde olduğu için, döndürme açısı doğrudan ABC üçgeninin C açısına eşittir.
\alpha = m(\widehat{ACB}) = 70^\circ.
Adım 5 — m(\widehat{BB'A}) Doğrulaması
CBB' ikizkenar üçgeninde tepe açısı \alpha = 70^\circ ise, taban açıları:
m(\widehat{CB'B}) = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ olur.
A, B', C doğrusal olduğundan, \alpha olarak sorulan m(\widehat{BB'A}) açısı (bütünler açı):
180^\circ - 55^\circ = 125^\circ.
Not: Görselde \alpha simgesi döndürme açısı olarak da m(\widehat{BB'A}) olarak da işaretlenmiş olabilir. Metne göre m(\widehat{BB'A}) istendiği için hesaplama buna göre tamamlanmıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \alpha = 125^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Döndürme Merkezi
- Tanım: Bir şeklin etrafında döndüğü sabit nokta.
- Bu problemde: C noktası merkezdir, bu yüzden C noktasından çıkan tüm eski ve yeni kenarlar (CB ile CB', CA ile CA') birbirine eşittir.
2. Eşlik (Congruence)
- Tanım: Boyutları ve açıları tamamen aynı olan şekiller.
- Bu problemde: ABC üçgenindeki tüm açılar A'B'C üçgenine aynen taşınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Döndürme Açısını Karıştırmak
- Yanlış: Döndürme açısını sadece rastgele bir iç açı sanmak.
- Doğru: Döndürme açısı, bir kenarın eski konumu ile yeni konumu arasındaki açıdır (BC ile B'C arasındaki açı).
- Neden Yanlış: Eğer bu fark edilmezse ikizkenar üçgen özelliği kullanılamaz.
Bu çözümdeki adımlardan anlamadığın bir kısım oldu mu? İstersen döndürme sorularında ikizkenar üçgen oluşturmanın püf noktalarını daha detaylı anlatabilirim.