Üçer üçer, dörder dörder ve beşer beşer gruplandırıldıklarında hep 2 kişi artan bir topluluktaki kişi sayısının alabileceği en küçük farklı iki değerin toplamı kaçtır? (Kişi sayısı 5’ten fazladır.)
A) 276
B) 266
C) 184
D) 260
E) 272
Gruplandırma ve EKOK Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir A sayısı farklı bölenlere bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa; bu kalanın sayıdan çıkarılmasıyla elde edilen ifade, bölenlerin en küçük ortak katının (\text{EKOK}) bir katı olur:
A = a \cdot x + k = b \cdot y + k = c \cdot z + k \implies (A - k) = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Matematiksel Eşitliğin Kurulması
Topluluktaki kişi sayısına A diyelim. Topluluk 3, 4 ve 5’erli gruplara ayrıldığında her seferinde 2 kişi arttığına göre denklem:
A = 3x + 2 = 4y + 2 = 5z + 2 \quad (x, y, z \in \mathbb{Z}^+)
Eşitliğin her tarafından 2 çıkarırsak:
A - 2 = 3x = 4y = 5z
Buradan A - 2 sayısının 3, 4 ve 5’in ortak bir katı olduğu anlaşılır.
Adım 2 — EKOK Değerinin Hesaplanması
3, 4 ve 5 sayıları aralarında asal (veya ortak böleni olmayan) sayılar olduğu için:
\text{EKOK}(3, 4, 5) = 3 \times 4 \times 5 = 60
Bu durumda:
A - 2 = 60k \implies A = 60k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z}^+)
Adım 3 — En Küçük İki Farklı Değerin Bulunması ve Toplanması
Kişi sayısı 5’ten fazla olduğuna göre pozitif tam sayı değerleri verelim:
- k = 1 için:A_1 = 60 \cdot 1 + 2 = 62
- k = 2 için:A_2 = 60 \cdot 2 + 2 = 122
Bu iki değerin toplamı:
A_1 + A_2 = 62 + 122 = 184
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 184
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Periyodik tekrarlanan gruplama sorularında temel araçtır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: k = 0 alıp A = 2 değerini dahil etmek.- Doğru Yaklaşım: Soruda “Kişi sayısı 5’ten fazladır” şartı belirtildiği için k \ge 1 alınmalıdır (A > 5).
Benzer bir EKOK kalan sorusuyla pekiştirme yapmak ister misin?