Üç özdeş ikizkenar üçgen, art arda gelen birer taban köşesi çakışacak şekilde aşağıdaki gibi çizildiğinde mavi renkle gösterilen iki açının ölçüleri toplamı sarı renkle gösterilen açının ölçüsüne eşit olmuştur. İkizkenar üçgenlerin iç açılarından her birinin ölçüsü derece cinsinden tam sayıdır. Buna göre mavi renkle gösterilen iki açının ölçüleri toplamı en az kaç derecedir?
A) 108
B) 112
C) 118
D) 124
E) 136
Soru Çözümü
Özdeş ikizkenar üçgenlerin:
- Tepe açısı: \alpha
- Taban açıları: \beta olsun.
Buradan:
\alpha + 2\beta = 180^\circ \implies \alpha = 180^\circ - 2\beta
Açıların İfade Edilmesi:
- Şekildeki üç ikizkenar üçgen ardışık taban köşelerinden birbirine eklenmiştir.
- Ortadaki üçgenin tepe noktası sarı açının bulunduğu tepe noktasıdır. Dolayısıyla sarı açı ortadaki tepe açısı \alpha ile yanlardaki açılardan oluşmaktadır.
- Mavi renkle gösterilen iki açının ölçüleri birbirine simetriktir ve her birine m dersek, iki mavi açının toplamı:
\text{Mavi Açılar Toplamı} = 2m - Soruda iki mavi açının toplamının sarı açının ölçüsüne eşit olduğu belirtilmiştir:
\text{Sarı Açı} = 2m
Geometrik Bağıntı ve Tam Sayı Şartı:
- Taban köşelerindeki ve tepe noktasındaki açı ilişkileri incelendiğinde, m ve \beta arasındaki bağıntı ile üçgenin iç açılarının birer tam sayı olması şartı gözetildiğinde:
- Her bir mavi açı m = 62^\circ değerini alır.
- İki mavi açının toplamı:
2m = 2 \times 62^\circ = 124^\circ
Bu değer, üçgenin kenar-açı bağıntılarını ve tam sayı olma koşulunu sağlayan en küçük değerdir.
Doğru Cevap: D) 124