Üç kütüğün uçlarından sırasıyla kesilen parçalar verildiğine göre C kütüğünden kesilen parça uzunluğu hangisi olabilir?
Önemli Noktalar
- Kütüklerin ilk uzunlukları eşittir.
- Kesilen parçalar: A için 2\sqrt5, B için \sqrt{48}=4\sqrt3, C için x.
- Artakalan uzunluklar karşılaştırıldığında 2\sqrt5< x<4\sqrt3 olmalıdır.
Doğrudan Cevap
C kütüğünden kesilen parça uzunluğu 2\sqrt5<x<4\sqrt3 aralığında olmalıdır. Seçenekler içinde bu koşulu sağlayan tek değer 2\sqrt7’dir.
İçindekiler
1. Parçalar ve Artakalan Uzunluklar
- Başlangıç uzunluğu: L (hepsi eşit).
- A kütüğünden kesilen: 2\sqrt5\,, artakalan: L-2\sqrt5.
- B kütüğünden kesilen: \sqrt{48}=4\sqrt3\,, artakalan: L-4\sqrt3.
- C kütüğünden kesilen: x, artakalan: L-x.
2. Eşitsizlik Kurulumu
Artakalan uzunluklar için:
$L$’leri götürüp işaretleri tersine çevirince:
3. Seçeneklerin İncelenmesi
Aşağıda her bir seçeneğin yaklaşık değeri var:
- 3\sqrt6\approx7{,}35
- 2\sqrt7\approx5{,}29
- 3\sqrt{10}\approx9{,}49
- 7
- \sqrt{54}=3\sqrt6\approx7{,}35
Aralık: 4{,}47< x<6{,}93. Bu aralığa giren tek değer 2\sqrt7.
Karşılaştırma Tablosu
| Kütük | Kesilen Parça | Artakalan Uzunluk | Yaklaşık Artakalan (L≈?) |
|---|---|---|---|
| A | 2\sqrt5 | L - 2\sqrt5 | \;L-4{,}47 |
| B | 4\sqrt3 | L - 4\sqrt3 | \;L-6{,}93 |
| C | 2\sqrt7 | L - 2\sqrt7 | \;L-5{,}29 |
Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç / Koşul |
|---|---|---|
| A artakalan | L-2\sqrt5 | En büyük |
| B artakalan | L-4\sqrt3 | En küçük |
| C artakalan | L-x | Ara uzunluk |
| Eşitsizlik | 2\sqrt5< x<4\sqrt3 | |
| Geçerli Seçenek | 2\sqrt7 |
SSS
Soru: Kesilen parça uzunluğu neden eşitsizlikle bulunur?
Cevap: Artakalan uzunlukların büyüklük sırasına göre L terimleri elimine edilip x için koşul çıkarılır.
Soru: \sqrt{48} ve 4\sqrt3 eşit midir?
Cevap: Evet, \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3 olarak sadeleşir.
Soru: Neden eşitsizlikte yönler tersine döndü?
Cevap: L-x<L-2\sqrt5 gibi ifadede -x terimi olduğu için $L$’yi atınca işaret değişir.
Bu tür eşitsizlik sorularında benzer alıştırmalar ister misin?
@Yusuf_isik
Uzunlukları Eşit Kütüklerin Parça Uzunlukları Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Üç kütüğün tamamının uzunluğu eşittir.
- Her kütükten verilen uzunlukta parça kesilmiş.
- Kalan en uzun parça A, en kısa parça B olarak verilmiş.
- Buna göre C kütüğünden kesilen parçanın uzunluğu soruluyor.
Uzunlukları metre cinsinden birbirine eşit olan üç kütükten, şemadaki gibi motorla farklı miktarlarda parçalar kesiliyor. A kütüğünden kesilen parça: 2 \sqrt{5} m, B kütüğünden kesilen parça: 2 \sqrt{12} m (şemada 2 \sqrt{12} değil, 2 \sqrt{12} değil 2 \sqrt{12} gibi ama soruda 2\sqrt{12} yerine 2\sqrt{48} olarak verilmiş, yazım hatası olabilir), C kütüğünden kesilen parça uzunluğu ise bulunacak.
Ayrıca kalan parçalar arasında en uzun kalan A kütüğü, en kısa kalan B kütüğü olarak verilmiştir.
İçindekiler
- Problemin Analizi
- Kesilen ve Kalan Parça Uzunluklarının Hesaplanması
- C Kütüğünden Kesilen Parça Uzunluğunun Bulunması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Problemin Analizi
Üç kütük eşit uzunluktadır. Her kütükten bir parça kesiliyorsa:
- Toplam kütük uzunluğu L ise,
- Her kütük için kesilen parça uzunluğu a, b, c,
- Kütüğün kalan uzunluğu ise sırasıyla L - a, L - b, L - c olur.
Soruda:
- Kalan en uzun parça L - a (A kütüğü),
- Kalan en kısa parça L - b (B kütüğü).
Bu şu anlama gelir:
$$L - a > L - c > L - b$$
veya
$$L - a > L - c > L - b$$
Bu da:
$$a < c < b$$ olur.
Yani kesilen parçalar sırasıyla a < c < b şeklindedir.
Verilenler:
- a = 2 \sqrt{5}
- b = 2 \sqrt{12} ya da 2 \sqrt{48} (Şemada 2\sqrt{12} yerine 2\sqrt{48} verilmiş)
- c = ?
Kesilenlerden a < c < b olmalı.
2. Kesilen ve Kalan Parça Uzunluklarının Hesaplanması
Öncelikle kesilen parçaların tam uzunluklarını hesaplayalım:
- a = 2 \sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472 m
- b = 2 \sqrt{12} = 2 \times 3.464 = 6.928 m veya şemaya göre 2 \sqrt{48} = 2 \times 6.928 = 13.856 m
Şemada B kütüğünden kesilen parça: 2 \sqrt{12} değil, 2 \sqrt{48} olarak yazılmış, bu önemli.
Kesilen parçaların uzunluklarını düzeltelim:
- A: 2 \sqrt{5} \approx 4.472 m
- B: 2 \sqrt{12} ise 6.928 m
- B: 2 \sqrt{48} ise 2 \times 6.928 = 13.856 m
Verilen görselde B için 2 \sqrt{48} verilmiş. O zaman:
B’nin kesilen parçaları: 13.856 m
Şimdi eşit uzunluk kütük uzunluğu L için:
- L - a = L - 4.472 → A kütüğünden kalan
- L - b = L - 13.856 → B kütüğünden kalan
- L - c → C kütüğünden kalan, L - c bu değer A ile B arasında olacak.
En uzun kalan: L - a
En kısa kalan: L - b
Kalanlar arasındaki ilişki:
$$L - a > L - c > L - b$$
Buna göre:
$$a < c < b$$
3. C Kütüğünden Kesilen Parça Uzunluğunun Bulunması
Şimdi seçeneklerde verilen uzunluklara bakalım:
A) \sqrt{54} \approx 7.348 m
B) 2 \sqrt{7} = 2 \times 2.645 = 5.291 m
C) 3 \sqrt{10} = 3 \times 3.162 = 9.486 m
D) 7 m
Kesilen parça uzunluğunun sırasıyla a < c < b yani: 4.472 < c < 13.856 olmalıdır.
Seçeneklerde sadece B şıkkı değer olarak küçük, 5.291 m — bu 4.472 < 5.291 koşulunu sağlıyor.
Diğerleri:
- 7.348 (A seçeneği) da sağlanır.
- 9.486 (C seçeneği) sağlanır.
- 7 (D seçeneği) sağlanır.
Hepsi koşulu sağlar. Ancak soruda “kalan parçalar arasında en uzun A kütüğü, en kısa B kütüğü” olduğuna göre, kalan uzunluklar doğru sıralamada olmalıdır.
Kütüklerin toplam uzunluğu L sabit olduğuna göre:
- Kalan uzunluklar:
A: L - 4.472 (en uzun)
B: L - 13.856 (en kısa)
C: L - c (arasında)
Yani, kalan uzunluklar sıralamasında:
L - 4.472 > L - c > L - 13.856
Bu da:
4.472 < c < 13.856
Yine tüm seçenekler sağlanıyor. Ancak verilen uzunluklardan şunları göz önünde bulundurmamız gerek:
Soru, tüm kütüklerin uzunluğunun eşit olduğunu söylüyor.
Burada A kesilen parça uzunluğu: 2 \sqrt{5} m
B kesilen parça uzunluğu: 2 \sqrt{12} değil, 2 \sqrt{48} m (şemaya göre)
C kütüğünün kesilen parçası ise bilinmeyen.
Bu durumda :
Birinci kütük: Uzunluk = L = 2 \sqrt{5} + (L - 2\sqrt{5})
İkinci kütük: Uzunluk = L = 2 \sqrt{48} + (L - 2\sqrt{48})
Üçüncü kütük: L = x + (L - x)
Ama biz L-leri bilmediğimiz için toplam uzunluğu doğrudan bulmaya çalışalım.
Bunun için verilen uzunluklar bir kenar olarak düşünülebilir (örneğin, hipotenüs testi). Çünkü şemada “kütüklerin uçlarından motorla kesiliyor” yazıyor, muhtemelen motor farklı pozisyonlardan kütüklere açılarla müdahale ediyor, kesilen parça uzunlukları hipotenüs veya benzeri olabilir.
Çözüm metodunu aşağıdaki gibi detaylandırabiliriz:
Motorun kütüğe göre aldığı pozisyon boyunca kesilen parçalar belirtilmiş. Bunların uzunlukları şunlardır:
- A kütüğünde kesilen parça: 2 \sqrt{5}
- B kütüğünde kesilen parça: 2 \sqrt{12} (Şekilde 2√48 verilmiş, ama soru seçeneklerine bakılırsa 2√12 anlamlı olacaktır)
- C kütüğünde kesilen parça seçeneklerde belirtilmiş uzunluklar
Şimdi motorun her kütükteki kesme uzunluğunun karelerinin kareleri göz önüne alınarak toplam T hesaplanabilir.
Örnek olarak, verilen parçaların karelerini toplayalım:
- A: (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20
- B: (2\sqrt{12})^2 = 4 \times 12 = 48
- C: Seçeneklere göre kareleri:
| Seçenek | Uzunluk | Kare (m²) |
|---|---|---|
| A | \sqrt{54} \approx 7.348 | 54 |
| B | 2\sqrt{7} \approx 5.291 | (2\sqrt{7})^2 = 4 \times 7 = 28 |
| C | 3\sqrt{10} \approx 9.486 | (3\sqrt{10})^2 = 9 \times 10 = 90 |
| D | 7 | 7^2 = 49 |
Kütüklerin eşit uzunlukta olduğunu biliyoruz. Bu uzunluk, motorun kesme uzunluklarının karelerinin toplamının sabit olduğu anlamına da gelebilir.
Seçeneklerin karelerinin toplamlarını inceleyelim:
- A şıkkı: 20 + 48 + 54 = 122
- B şıkkı: 20 + 48 + 28 = 96
- C şıkkı: 20 + 48 + 90 = 158
- D şıkkı: 20 + 48 + 49 = 117
Eşit uzunluk için daha yakın ve anlamlı toplam olmalı.
Ayrıca seçeneklerde A ve C şıkları güçlü adaylardır.
Ancak verilen seçeneklerde B şıkkı (2 \sqrt{7}), kesilen parça uzunluğu için en uygun aralıkta ve kalıyor.
Sonuç:
B şıkkı olan 2 \sqrt{7} (yaklaşık 5.291 m) kuralı sağlar ve “kalan parçalar” için a < c < b koşulunu sağlar.
Özet Tablo
| Şık | Kesilen Parça Uzunluğu (metre) | Kare (m²) |
|---|---|---|
| A | \sqrt{54} \approx 7.348 | 54 |
| B | 2 \sqrt{7} \approx 5.291 | 28 |
| C | 3 \sqrt{10} \approx 9.486 | 90 |
| D | 7 | 49 |
Kesilen parçalar sırasıyla:
A: 2 \sqrt{5} = 4.472 m < B: 2 \sqrt{7} = 5.291 m < B kütüğü: 2 \sqrt{12} (muhtemelen) veya 2 \sqrt{48} (şemada)
Bu nedenle B şıkkı 2 \sqrt{7} uygun cevaptır.
Sık Sorulan Sorular
1. Kütük uzunlukları eşitse neden kesilen parçaların toplamları eşit olmaz?
Kesilen parçalar farklı açılardan ölçüldüğünde uzunlukları farklı olabilir. Kütük uzunlukları eşit olsa da motorun pozisyonuna göre kesilen parçalar farklı uzunluk kazanabilir.
2. Kesilen parçaların uzunlukları köşegen gibi mi düşünülebilir?
Evet, motor kütüğe açıyla kesiyorsa kesilen parça gerçek uzunluktan daha uzun olabilir; metrekare hesabı gibi düşünülür.
3. Kalan parçalar neden önemlidir?
En uzun ve en kısa kalan parçalar bilinerek, ara parçanın uzunluğu için aralık belirlenir.
4. Şemadaki değerlerde hata olabilir mi?
Bazı değerler karışık görünebilir. Soru mantığı aralığa ve kütük uzunluğunun eşitliği prensibine dayanır.
Sonraki Adımlar
Bu tür geometri ve köklerle ilgili problemleri daha iyi anlayabilmek için:
- Motorun kütükler üzerindeki farklı açıları ve kesilen parçaların uzunluk hesaplarını detaylı öğrenmek ister misiniz?
- Benzer şekilde, karekökler ve geometrik uzunluk ilişkilerini içeren sorulara yönelik pratik yapalım mı?
Sormak istediğiniz başka bir soru var mı?