Üç kitaplığın birincisinde üç kitap, ikincisinde dört kitap, üçüncüsünde ise dört kitaptan daha fazla sayıda kitap

YKS TYT
1

Üç kitaplığın birincisinde üç kitap, ikincisinde dört kitap, üçüncüsünde ise dört kitaptan daha fazla sayıda kitap olduğu bilinmektedir.
Buna göre, üçüncü kitaplıkta toplam kaç kitap vardır?
Bu üç kitaplıkta isimleri birbirinden farklı birer kitap seçmek isteyen Ömer, bu işlemi 72 farklı biçimde yapabilmektedir.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16

Üç kitaplığın birincisinde üç kitap, ikincisinde dört kitap, üçüncüsünde ise dört...
Üç kitaplığın birincisinde üç kitap, ikincisinde dört kitap, üçüncüsünde ise dört...1024×768 193 KB

2

Sayma ve Çarpım Prensibi ile Kombinasyon Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Birbirini takip eden bağımsız seçimlerde toplam durum sayısı, her bir adım için geçerli olan uygun seçenek sayılarının çarpımıyla bulunur (Saymanın Temel Çarpım İlkesi):

\text{Toplam Durum} = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Kitaplıkların İçeriklerini Belirleme
Soruda verilen bilgilere göre kitaplıklardaki kitap kümeleri şöyledir:

  • I. Kitaplık: \{A, B, C\} olmak üzere 3 kitap içerir.
  • II. Kitaplık: \{A, B, C, D\} olmak üzere 4 kitap içerir.
  • III. Kitaplık: A, B, C, D kitaplarının yanı sıra yalnızca bu kitaplıkta bulunan diğer kitapları da içerir. Toplam kitap sayısına n diyelim (n > 4).

Adım 2 — Sırasıyla Kitap Seçimini Yapma
Ömer her kitaplıktan isimleri birbirinden farklı birer kitap seçecektir:

  1. I. Kitaplıktan seçim: \{A, B, C\} arasından 3 farklı kitap seçilebilir.
  2. II. Kitaplıktan seçim: Seçilen ilk kitap II. kitaplıkta da bulunduğundan, II. kitaplıktan bu kitap hariç geriye kalan 4 - 1 = 3 kitaptan biri seçilir.
  3. III. Kitaplıktan seçim: I ve II. kitaplıklardan seçilen farklı iki kitabın her ikisi de (A, B, C, D kümesinde yer aldıkları için) III. kitaplıkta kesinlikle mevcuttur. Dolayısıyla III. kitaplıktaki toplam n kitaptan bu iki kitap seçilemez ve geriye n - 2 seçenek kalır.

Adım 3 — Toplam Durum Sayısını Eşitleme
Çarpım prensibine göre toplam farklı seçim sayısı:

3 \cdot 3 \cdot (n - 2) = 72
9 \cdot (n - 2) = 72
n - 2 = 8 \implies n = 10

:white_check_mark: CEVAP: C) 10 (Üçüncü kitaplıktaki toplam kitap sayısı = 10)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
I ve II. kitaplıklardan seçilen iki farklı kitabın her ikisinin de III. kitaplıkta mutlaka yer aldığını fark etmek, III. kitaplık için her koşulda (n - 2) seçenek bırakır. Bu simetri sayesinde uzun durum analizlerine girmeden doğrudan sonuca ulaşılır.