Üç kitaplığın birincisinde üç kitap, ikincisinde dört kitap, üçüncüsünde ise dört kitaptan daha fazla sayıda kitap olduğu bilinmektedir.
Buna göre, üçüncü kitaplıkta toplam kaç kitap vardır?
Bu üç kitaplıkta isimleri birbirinden farklı birer kitap seçmek isteyen Ömer, bu işlemi 72 farklı biçimde yapabilmektedir.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16
Sayma İlkeleri ve Kombinasyon ile Kitap Seçimi Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre, bağımsız veya koşullu seçimlerin toplam sayısı adımların seçenek sayılarının çarpımı ile bulunur: N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kitaplıklardaki Kitap Dağılımını Belirleme
Görsel ve metindeki verilere göre:
- I. Kitaplık: 3 kitap vardır. A, B ve C her üç kitaplıkta da bulunduğundan, bu kitaplıktaki kitaplar \{A, B, C\} kümesidir.
- II. Kitaplık: 4 kitap vardır. D iki kitaplıkta bulunduğu için II. kitaplıkta yer alır. Dolayısıyla bu kitaplıktaki kitaplar \{A, B, C, D\} kümesidir.
- III. Kitaplık: Toplam n adet kitap bulunmaktadır (n > 4). Bu kitaplıkta A, B, C, D kitapları ve bunlardan farklı n - 4 adet kitap yer alır.
Adım 2 — Birbirinden Farklı Kitap Seçim Sayısının Hesaplanması
Ömer her kitaplıktan isimleri farklı birer kitap seçecektir:
- I. Kitaplıktan seçim: \{A, B, C\} arasından herhangi biri seçilir:\text{Seçenek sayısı} = 3
- II. Kitaplıktan seçim: \{A, B, C, D\} kümesinden, I. kitaplıkta seçilen kitap hariç bir kitap seçilir:\text{Seçenek sayısı} = 4 - 1 = 3
- III. Kitaplıktan seçim: İlk iki kitaplıkta seçilen iki kitabın her ikisi de (A, B, C, D kümesine ait oldukları için) III. kitaplıkta kesinlikle mevcuttur. Farklı kitap seçilmesi gerektiğinden bu 2 kitap seçilemez:\text{Seçenek sayısı} = n - 2
Adım 3 — Denklemi Kurma ve n Değerini Bulma
Toplam seçim sayısı 72 olarak verilmiştir:
3 \times 3 \times (n - 2) = 72
9 \times (n - 2) = 72
n - 2 = 8 \implies n = 10
CEVAP: C) 10 (Üçüncü kitaplıktaki toplam kitap sayısı n = 10’dur.)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: I ve II. kitaplıktan seçilen herhangi iki kitabın her halükarda III. kitaplıkta mevcut olan \{A, B, C, D\} kümesinin elemanları olduğuna dikkat edilmelidir. Bu sayede durumları ayrı ayrı parçalamadan doğrudan n - 2 seçeneğe indirgemek çözümü çok daha pratik hale getirir.