Üç es kolu olan bir merdiven, bir ucu duvar üzerine
gelecek biçimde zemin üzerinde konumlandiğında oluşan
açı ölçüleri şekilde veriliyor.
Duvar
O
Zemin
B
A, E ve B’ doğrusal olduğuna göre, m(AEA) = x kaç
derecedir?
A) 80
B) 85
C) 90
D) 95
E) 100
Merdiven Problemi ve Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğru açı: 180^\circ
- Tepe açısı 60^\circ olan ikizkenar üçgen bir eşkenar üçgendir.
- İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
- Bir üçgenin iç açıları toplamı: \alpha + \beta + \theta = 180^\circ
- Ters açılar birbirine eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \angle ABA' Açısını ve \triangle ABA' Üçgeninin Türünü Belirleme
Merdivenin üç kolu eş uzunlukta olduğundan |AB| = |BA'| = |A'B'| = L olur.
Zemin doğrusal kabul edildiğinde, B noktasındaki doğru açıdan:
\angle ABA' = 180^\circ - (55^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
|AB| = |BA'| = L ve aralarındaki açı 60^\circ olduğundan, \triangle ABA' bir eşkenar üçgendir.
Buradan:
|AA'| = L \quad \text{ve} \quad m(\widehat{BAA'}) = m(\widehat{BA'A}) = 60^\circ
Adım 2 — \triangle BA'B' İkizkenar Üçgeninde Açıları Bulma
B ve B' noktaları zemin üzerinde yer almaktadır. |BA'| = |A'B'| = L olduğundan \triangle BA'B' ikizkenar bir üçgendir ve taban açıları eşittir:
m(\widehat{A'BB'}) = m(\widehat{A'B'B}) = 65^\circ
Tepe açısı:
m(\widehat{BA'B'}) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ
Adım 3 — \triangle AA'B' İkizkenar Üçgenini İnceleme
|AA'| = L ve |A'B'| = L olduğundan \triangle AA'B' de ikizkenar bir üçgendir.
Tepe açısı:
m(\widehat{AA'B'}) = m(\widehat{AA'B}) + m(\widehat{BA'B'}) = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ
İkizkenar üçgenin taban açıları:
m(\widehat{A'AB'}) = m(\widehat{A'B'A}) = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ
Adım 4 — \triangle AA'E Üçgeninde x Açısını Hesaplama
A, E, B' doğrusal olduğundan m(\widehat{A'AE}) = 35^\circ ve E noktası BA' üzerinde olduğundan m(\widehat{AA'E}) = 60^\circ’dir.
\triangle AA'E üçgeninin iç açıları toplamından:
x + m(\widehat{A'AE}) + m(\widehat{AA'E}) = 180^\circ
x + 35^\circ + 60^\circ = 180^\circ
x + 95^\circ = 180^\circ \implies x = 85^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 85
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eşkenar Üçgen Gizlemi: Kolları eşit olan bir yapıda aradaki açı 60^\circ çıktığında, uç noktaları birleştirerek eşkenar üçgen elde etmek sorunun kilit hamlesidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: E noktasını merdiven kollarının tam orta noktası gibi varsayıp şekle aldanarak açı tahmini yapmak.- Doğru Yaklaşım: Eşit uzunluktaki kolları (|AB|=|BA'|=|A'B'|) sembolik olarak L ile gösterip oluşan ikizkenar ve eşkenar üçgenleri adım adım takip etmek.
Benzer bir merdiven veya katlama geometri sorusuyla pratik yapmak ister misin?