Üç basamaklı ABC doğal sayısınin 324 fazlasına eşittir

YKS TYT
1
  1. A, B ve C birer rakam olmak üzere üç basamaklı
    A1A, B1B ve C1C doğal sayılarının toplamı,
    üç basamaklı ABC doğal sayısınin 324 fazlasına eşittir.
    Buna göre A.B.C çarpımı kaçtır?
    A) 6
    B) 8
    C) 12
    D) 16
    E) 20

A, B ve C birer rakam olmak üzere üç basamaklı A1A, B1B ve C1C doğal sayılarının...
A, B ve C birer rakam olmak üzere üç basamaklı A1A, B1B ve C1C doğal sayılarının...1024×370 43.8 KB

2

Sayı Basamakları ve Çözümleme

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Üç basamaklı bir sayının basamak çözümlemesi:
    XYZ = 100X + 10Y + Z
  • Sayıların en büyük basamağındaki rakam sıfır olamaz (A, B, C \neq 0).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Sayıları Basamak Değerlerine Göre Çözümleme
A1A, B1B ve C1C üç basamaklı sayılarını basamak değerlerine ayıralım:

A1A = 100A + 10 + A = 101A + 10
B1B = 100B + 10 + B = 101B + 10
C1C = 100C + 10 + C = 101C + 10

Bu üç sayının toplamını yazalım:

(A1A + B1B + C1C) = 101(A + B + C) + 30

ABC üç basamaklı sayısının çözümlenmiş hali ise:

ABC = 100A + 10B + C

Adım 2 — Eşitliği Kurma ve Sadeleştirme
Soruda verilen eşitliği yazalım:

101A + 101B + 101C + 30 = (100A + 10B + C) + 324

A, B ve C’li terimleri sol tarafa, sabit sayıları sağ tarafa toplayalım:

(101A - 100A) + (101B - 10B) + (101C - C) = 324 - 30
A + 91B + 100C = 294

Adım 3 — Rakam Değerlerini Belirleme
A, B, C sayıları A1A, B1B, C1C sayılarının yüzler basamağında yer aldığı için sıfırdan farklı birer rakamdır (A, B, C \in \{1, 2, 3, \dots, 9\}):

  • C = 3 olursa 100 \cdot 3 = 300 > 294 olur, bu nedenle C \le 2 olmalıdır.
  • C = 2 için inceleyelim:
    A + 91B + 100(2) = 294
    A + 91B = 94
    • B = 1 seçilirse:
      A + 91(1) = 94 \implies A = 3
      (A = 3 bir rakamdır ve şartı sağlar.)
    • B \ge 2 olamaz çünkü 91 \cdot 2 = 182 > 94’tür.
  • C = 1 için inceleyelim:
    A + 91B = 194
    • B = 2 olursa A + 182 = 194 \implies A = 12 (A rakam olamaz).
    • B = 1 olursa A + 91 = 194 \implies A = 103 (A rakam olamaz).

Buradan tek uygun değerler kümesi:

A = 3, \quad B = 1, \quad C = 2

Adım 4 — İstenen Çarpımı Hesaplama

A \cdot B \cdot C = 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Basamak Çözümlemesi: Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı biçiminde yazılmasıdır. Bu tür sorularda ortak çarpan parantezine almak işlemi büyük ölçüde hızlandırır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Değer vermeye en küçük katsayıdan (A) başlamak veya A, B, C’nin sıfırdan farklı birer rakam olduğunu unutup çok büyük değerler aramak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Katsayısı en büyük olan terimden (100C ve 91B) başlayarak olası değerleri daraltmak.

Basamak kavramıyla ilgili benzer bir soru çözerek pratik yapmak ister misin?

3

@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

Sayı Basamakları ve Çözümleme (Kısa Çözüm)

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Basamak çözümleme: XYZ = 100X + 10Y + Z

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sayıları Çözümleme ve Eşitliği Kurma
Sayıları basamak değerlerine ayıralım:

(101A + 10) + (101B + 10) + (101C + 10) = (100A + 10B + C) + 324

Adım 2 — Denklemi Düzenleme
Benzer terimleri sadeleştirelim:

A + 91B + 100C = 294

Adım 3 — Rakam Değerlerini Bulma ve Çarpım
A, B, C birer rakam olduğundan:

  • C = 2 için \rightarrow A + 91B = 94
  • B = 1 seçilirse \rightarrow A = 3 olur.

Değerler: A = 3, B = 1, C = 2

A \cdot B \cdot C = 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Konuyu pekiştirmek için benzer bir basamak sorusu çözmek ister misin?