Üç basamaklı AAB doğal sayısı, üç basamaklı BAA doğal sayısından 594 fazladır.
Buna göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Üç Basamaklı AAB ve BAA Sayıları Arasındaki Fark Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Basamak Çözümlemesi (Onluk Taban Açılımı)
Üç basamaklı bir doğal sayının basamak değerleri toplamı:
\text{XYZ} = 100X + 10Y + Z
Burada X \neq 0 ve Y, Z birer rakamdır (0 \le X, Y, Z \le 9).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Basamak Çözümlemesini Yapma
AAB ve BAA üç basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre açalım:
AAB = 100A + 10A + B = 110A + B
BAA = 100B + 10A + A = 100B + 11A
AAB ve BAA üç basamaklı sayılar olduğu için yüzler basamağındaki A ve B sıfır olamaz (A \neq 0 ve B \neq 0).
Adım 2 — Verilen Eşitliği Kurma ve Sadeleştirme
AAB sayısı BAA sayısından 594 fazla olduğuna göre:
AAB - BAA = 594
(110A + B) - (100B + 11A) = 594
(110A - 11A) + (B - 100B) = 594
99A - 99B = 594
Her iki tarafı 99 ortak parantezine alıp sadeleştirelim:
99(A - B) = 594
A - B = \frac{594}{99}
A - B = 6
Adım 3 — A + B Toplamının En Büyük Değerini Bulma
A - B = 6 \implies A = B + 6 bağıntısını elde ederiz.
A ve B birer rakam (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) olduğundan A en fazla 9 değerini alabilir:
- A = 9 için \rightarrow B = 9 - 6 = 3
- A = 8 için \rightarrow B = 8 - 6 = 2
- A = 7 için \rightarrow B = 7 - 6 = 1
Toplamın en büyük olması için en büyük rakamlar seçilir:
A + B = 9 + 3 = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (12)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümlemesi
- Tanım: Sayıların, basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılması işlemidir.
- Bu problemde: AAB ve BAA sayıları açılarak 99(A - B) farkı elde edilmiştir.
2. Rakam Olma Şartı
- Tanım: Sayı sisteminde 0’dan 9’a kadar olan sembollerdir (0, 1, 2, \dots, 9).
- Bu problemde: Üç basamaklı sayıların ilk basamağı oldukları için A \neq 0 ve B \neq 0 kuralına uygun biçimde en büyük rakam A=9 seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
B Değerine 0 Vermek
- Yanlış: A - B = 6 eşitliğinde B = 0 alarak A = 6 ve A + B = 6 demek ya da A=9, B=0 gibi tutarsız değerler üretmek.
- Doğru: BAA üç basamaklı bir sayı olduğundan yüzler basamağındaki B rakamı 0 olamaz (B \ge 1).
- Neden yanlış: Yüzler basamağında 0 bulunursa sayı üç basamaklı olma özelliğini kaybeder.
Bu çözüm yöntemiyle ilgili benzer bir basamak analizi sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?