TYT/ TEMEL MATEMATİK iglemlerinin tamamunin sonucu ayn igaretidir Buna göre itadelerinden hanglleri her zaman dogrudur?!

YKS TYT
1

TYT/ TEMEL MATEMATİK
5. Strdan fad x ve y gerpel saylan için1x+y
iglemlerinin tamamunin sonucu ayn igaretidir
Buna göre
L X>0
y> 0
y
itadelerinden hanglleri her zaman dogrudur?!
A) Yalnz 1
B) Yalnz lt1Ive ll
E) It ve il
Tam s
gerpel
9osterit
Buna gôre
boyalı bôlg
A)0

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 79.5 KB

2

TYT Temel Matematik: Gerçel Sayılar ve İşaret Analizi

Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için verilen üç işlemin (x+y, x-y, x \cdot y) sonuçlarının aynı işaretli olduğu belirtilmiştir. Bu verileri analiz ederek hangi ifadelerin her zaman doğru olduğunu belirleyelim.

:light_bulb: [KULLANILAN KAVRAMLAR:] İşaret incelemesi, çarpma ve toplama-çıkarma işlemleri arasındaki ilişki.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — İşlemlerin İşaretini Belirleme
Üç işlemin sonucu da aynı işaretlidir. Eğer sonuçların hepsi negatif (-) olsaydı:

  • x \cdot y < 0 (Bu durumda x ve y zıt işaretlidir)
  • x - y < 0 \Rightarrow x < y
  • x + y < 0
    Ancak x \cdot y < 0 iken x ve y zıt işaretli olduğundan, toplama ve çıkarma her zaman aynı anda negatif çıkamaz. Örneğin x=-1, y=2 seçilirse x \cdot y = -2 (negatif), x-y = -3 (negatif) olur ama x+y = 1 (pozitif) çıkar. Dolayısıyla tüm sonuçlar negatif olamaz. Bu durumda tüm işlemlerin sonucu pozitif (+) olmalıdır.

Adım 2 — Pozitiflik Durumunu İnceleme
Tüm sonuçlar pozitif olduğuna göre:

  1. x \cdot y > 0 \Rightarrow x ve y aynı işaretlidir (ya ikisi de +, ya ikisi de -).
  2. x - y > 0 \Rightarrow x > y
  3. x + y > 0

Adım 3 — x ve y’nin İşaretini Kesinleştirme
x ve y aynı işaretli demiştik. Eğer ikisi de negatif olsaydı (x < 0 ve y < 0), toplamları olan x + y işleminin sonucu negatif olurdu. Ancak biz tüm sonuçların pozitif olduğunu bulduk. O halde:

  • x > 0 ve y > 0 olmak zorundadır.

Adım 4 — Öncüllerin Doğruluğunu Kontrol Etme

  • I. x > 0: Doğrudur (Adım 3).
  • II. y > 0: Doğrudur (Adım 3).
  • III. \frac{1}{y} - \frac{1}{x} > 0: Bu ifadeyi payda eşitleyerek düzenleyelim: \frac{x-y}{x \cdot y} > 0.
    Biliyoruz ki x - y > 0 ve x \cdot y > 0. Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü her zaman pozitiftir. Dolayısıyla bu ifade de her zaman doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] I, II ve III (Ancak seçeneklerde I, II ve III bulunmadığı durumda sorunun orijinal mantığına göre x>y ve her ikisinin pozitif olduğu kesindir. Görseldeki işaretlemeler ve TYT mantığına göre cevap C) I ve II veya tümü doğrudur.)

Not: Verilen görseldeki şıklara göre III. madde de matematiksel olarak kanıtlandığı için soruda bir baskı hatası yoksa üçü de doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Çarpma İşlemi (x \cdot y > 0)

  • [Tanım:] İki sayının çarpımı pozitifse bu sayılar aynı işaretlidir.
  • [Bu problemde:] x ve y değerlerinin her ikisinin de artı veya her ikisinin de eksi olduğunu gösterdi.

2. Çıkarma İşlemi (x - y > 0)

  • [Tanım:] Bir fark pozitifse eksilen sayı çıkan sayıdan büyüktür.
  • [Bu problemde:] x değerinin y değerinden büyük olduğunu kanıtladı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Zıt İşaretli Olma İhtimali

  • [Yanlış:] x ve y’den biri negatif diğeri pozitif olabilir diye düşünmek.
  • [Doğru:] Çarpım sonucu pozitif olduğu için bu ihtimal elenir.
  • [Neden:] Üç işlemin de işareti aynı (pozitif) olmak zorundadır.

Bu tür eşitsizlik sorularında farklı sayı kümeleri (tam sayı vs. gerçel sayı) denememi ister misin?