TYT Matematik: x/y Oranı Problemi Çözümü

YKS TYT
1

image
image720×960 25.3 KB

2

TYT Matematik: x/y Oranı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen denklemde x ve y pozitif gerçek sayılardır.
  • Paydalar dikkatlice düzenlenmeli ve sadeleştirilmelidir.
  • Amaç, \frac{x}{y} oranını bulmaktır.

Verilen eşitlik:

\frac{2y}{x + \frac{1}{y}} - \frac{3x}{y + \frac{1}{x}} = \frac{5x^2}{x \cdot y + 1}

Burada amaç \frac{x}{y} oranını bulmaktır.

Çözüm Adımları

  1. Paydaları sadeleştirelim:
    İlk paydanın x + \frac{1}{y} ifadesini ortak payda ile yaz:
x + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}

Böylece:

\frac{2y}{x + \frac{1}{y}} = \frac{2y}{\frac{xy+1}{y}} = \frac{2y \cdot y}{xy + 1} = \frac{2y^2}{xy +1}
  1. İkinci paydanın y + \frac{1}{x} ifadesini ortak payda ile yaz:
y + \frac{1}{x} = \frac{xy + 1}{x}

Böylece:

\frac{3x}{y + \frac{1}{x}} = \frac{3x}{\frac{xy+1}{x}} = \frac{3x \cdot x}{xy +1} = \frac{3x^2}{xy +1}
  1. Eşitliğin sol tarafı şimdi:
\frac{2y^2}{xy + 1} - \frac{3x^2}{xy + 1} = \frac{2y^2 - 3x^2}{xy + 1}
  1. Sağ taraf zaten:
\frac{5x^2}{xy + 1}
  1. Eşitliği kur:
\frac{2y^2 - 3x^2}{xy + 1} = \frac{5x^2}{xy + 1}

Çarpan ortak olduğu için paydalar sadeleşir:

2 y^2 - 3 x^2 = 5 x^2
  1. Tarafları topla:
2 y^2 = 5 x^2 + 3 x^2 = 8 x^2
  1. Böl ve düzenle:
\frac{y^2}{x^2} = \frac{8}{2} = 4

Yani:

\left(\frac{y}{x}\right)^2 = 4 \implies \frac{y}{x} = 2 \quad (\text{çünkü } x,y > 0)
  1. İstenilen:
\frac{x}{y} = \frac{1}{2}

Sonuç:

\boxed{\frac{1}{2}}

Doğru cevap E şıkkıdır.

Özet Tablo

Adım Detay
Payda sadeleştirme x + \frac{1}{y} = \frac{xy+1}{y} , y + \frac{1}{x} = \frac{xy+1}{x}
Yeni ifade \frac{2y^2}{xy+1} - \frac{3x^2}{xy+1} = \frac{5x^2}{xy+1}
Paylar eşitlendi 2y^2 - 3x^2 = 5x^2
Düzenleme 2 y^2 = 8 x^2 ve \frac{y}{x} = 2
Sonuç \frac{x}{y} = \frac{1}{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden x,y pozitif kabul ettik?
Pozitif gerçek sayı olduğundan karekök alırken pozitif kökü kullandık. Ayrıca probleme göre oran pozitif çıkmalı.

2. Paydaları neden eşitledik?
Paydaların eşit olduğunu görünce sadece payları karşılaştırmak işlemi kolaylaştırır.

3. Oranı bulduktan sonra hangi cevabı seçiyoruz?
En yakın ve eşleşen seçenek olan \frac{1}{2} yani E şıkkı doğru.

Sonraki Adımlar

Bu problemi benzer kesirli oran denklemleriyle çözmek ister misiniz? Ya da başka TYT matematik soruları çözelim mi?

@Aysegul_Huzmeli

3

Soru: x, y pozitif gerçek sayılar ve

\frac{2y}{\,x + \frac{1}{y}\,}\;-\;\frac{3x}{\,y + \frac{1}{x}\,} \;=\;\frac{5x^2}{\,x\,y + 1\,}

olduğuna göre, \dfrac{x}{y} oranı kaçtır?

• Temel Özet

  • x, y pozitif ve payda ifadeleri \,x+\tfrac{1}{y},\,y+\tfrac{1}{x}\, ortak payda hâline getirilir.
  • Elde edilen denklemde \;2y^2 - 3x^2 = 5x^2\; sonucu y = 2x bulunur.
  • Dolayısıyla \;x/y = 1/2\; çıkar.
  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. İlk olarak

    x + \frac{1}{y} = \frac{x\,y + 1}{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2y}{\,x + \frac{1}{y}\,} = 2y \cdot \frac{y}{x\,y + 1} = \frac{2y^2}{x\,y + 1}.

  2. Benzer şekilde

    y + \frac{1}{x} = \frac{x\,y + 1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x}{\,y + \frac{1}{x}\,} = 3x \cdot \frac{x}{x\,y + 1} = \frac{3x^2}{x\,y + 1}.

  3. LHS’teki farkı ve RHS’i ortak payda altında toplarsak:

    \frac{2y^2}{x\,y+1} - \frac{3x^2}{x\,y+1} = \frac{2y^2 - 3x^2}{x\,y+1} \quad=\;\frac{5x^2}{x\,y+1}.

  4. Paydalar aynı olduğundan paylar eşitlenir:

    2y^2 - 3x^2 = 5x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2y^2 = 8x^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 4x^2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2x.

  5. Sonuç olarak

    \frac{x}{y} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Payda ⟶ ortak payda x+\tfrac1y, y+\tfrac1x \dfrac{2y^2}{xy+1}, \dfrac{3x^2}{xy+1}
Denklem kurma \tfrac{2y^2 - 3x^2}{xy+1} = \tfrac{5x^2}{xy+1} 2y^2 - 3x^2 = 5x^2
Çözüm y^2 = 4x^2 y = 2x
Oran \dfrac{x}{y} \tfrac12

SSS

  1. Payda eşitleme neden kullanıldı?
    Farklı paydalı kesirlerde işlemi kolaylaştırmak için ortak payda gereklidir.

  2. Neden y = –2x değil de y = 2x seçildi?
    Soru x, y’yi pozitif gerçek sayılar olarak tanımlıyor.

  3. Başka bir yöntem var mı?
    Evet, denklemde önce her terimi çapraz çarpıp sonra sadeleştirme de yapılabilir.

  4. Bu oran Hangi şıkta yer alıyor?
    E seçeneğinde, \tfrac12.

Benzer bir denklem kurup çözmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli