274AB beş basamaklı doğal sayısı 33 ile bölündüğünde 15 kalanını verdiğine göre, A + B toplamı en az kaçtır?
Önemli Noktalar
- 274AB sayısı, 27400 + 10A + B şeklinde yazılır ve mod 33’e bakılır.
- 27400 mod 33 = 10 olduğu için denklem $$10 + 10A + B \equiv 15 \pmod{33}$$ formuna indirgenir.
- Bu durumda $$10A + B \equiv 5 \pmod{33}$$ ve tamsayı k≥0 için $$10A + B = 5 + 33k$$ çözümleri içinde en küçük A+B = 5 bulunur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Sayıyı yaz:274AB = 27400 + 10A + B.
- 33’e göre mod al:27400 \bmod 33 = 10,bu yüzden10 + 10A + B \equiv 15 \pmod{33} \quad\Longrightarrow\quad 10A + B \equiv 5 \pmod{33}.
-
10A + B = 5 + 33k,\quad k\in\mathbb{Z}_{\ge0},\;0\le10A+B\le99
- k=0 → 10A + B = 5 → (A,B) = (0,5) → A+B = 5
- k=1 → 10A + B = 38 → (A,B) = (3,8) → A+B = 11
- k=2 → 10A + B = 71 → (A,B) = (7,1) → A+B = 8
- En küçük A+B değeri 5’tir.
Doğru cevap: D) 5
Karşılaştırmalı Tablo
| Özellik | Tam Bölünebilme (kalan=0) | Kalan Problemi (kalan≠0) |
|---|---|---|
| Genel Denklem | 27400 + 10A + B \equiv 0 | 27400 + 10A + B \equiv 15 |
| Mod 33’e İndirgeme | 10A + B \equiv -10 \pmod{33} | 10A + B \equiv 5 \pmod{33} |
| Çözümler | A ve B için k=0,1,2… | A ve B için k=0,1,2… |
| Örnek Minimum A+B | (A,B)=(1,2) diyelim | (A,B)=(0,5) → A+B=5 |
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Mod Alma | 27400 \bmod 33 | 10 |
| 2. Denklem Kurma | 10 + 10A + B \equiv 15 \pmod{33} | 10A+B\equiv5 |
| 3. Çözümler (k=0,1,2) | k=0→(0,5), k=1→(3,8), k=2→(7,1) | A+B: 5,11,8 |
| 4. Minimum | En küçük A+B değeri | 5 |
SSS
S1: 33’e bölünebilme kuralı nedir?
C1: 33=3×11 olduğundan hem 3 hem 11’e bölünebilme kurallarının birlikte sağlanması gerekir.
S2: Bir sayının mod 33 kalanı nasıl bulunur?
C2: Sayıyı 33’e bölüp kalanını alırsınız veya basamak ağırlıklarıyla mod işlemi uygularsınız.
S3: A ve B değerlerini bulurken k nasıl seçilir?
C3: 10A+B=5+33k ifadesi 0–99 aralığında kalacak şekilde tam k’lar denenir.
S4: Başka (A,B) çifti var mı?
C4: Elde edilenler k=0,1,2 için (0,5), (3,8), (7,1) olmak üzere üç farklı çift sağlar.
Çalışmanızı pekiştirmek için 33 ile bölünebilme ve kalan problemleri üzerine 3 adet ek örnek soru ister misiniz?
@1ozlemozyigit
Tyt Matematik Bölme Bölünebilme Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- 274AB, beş basamaklı bir doğal sayıyı temsil eder.
- Bu sayı 33 ile bölündüğünde kalan 15’tir.
- A ve B rakamları toplamının en az değeri sorulmaktadır.
- 33 sayısı 3 ve 11 ile bölünebilen bir bileşik sayıdır.
- Bölünebilme kuralları kullanılarak A ve B’nin değerleri bulunabilir.
Bir sayının 33 ile bölündüğünde kalanı 15 olduğuna göre, bu sayı 33k + 15 formundadır. Bu durumda 274AB sayısı 33 ile bölündüğünde kalan 15 ise (274AB - 15) sayısı 33’ün katıdır.
İçindekiler
- A ve B’nin Değerlerinin Belirlenmesi
- 33 ile Bölünebilme Kuralı ve Uygulaması
- Karşılaştırma Tablosu: Bölünebilme Kuralları
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. A ve B’nin Değerlerinin Belirlenmesi
Sayı: 274AB = 27400 + 10A + B
Koşul: 274AB sayısı 33 ile bölündüğünde kalan 15’tir. Yani;
Bu durumda:
Öyleyse sayıdan 15 çıkarıldığında sayı 33’ün katı olur.
Adım 1: 274AB - 15 = 273AB’yi denkleme yerleştirelim:
Bu sayı 33k yani 33’ün katı olmalı.
2. 33 ile Bölünebilme Kuralı ve Uygulaması
33 sayısı 3 ve 11 ile bölünebilir olması gerekir (çünkü 33 = 3 × 11).
A. 3 ile bölünebilme kuralı:
Bir sayının rakamları toplamı 3’ün katıysa, sayı 3’e tam bölünür.
274AB sayısının rakamları toplamı:
2 + 7 + 4 + A + B = 13 + (A + B)
Kalan 15 çıkarıldıktan sonra kalan sayı 27385 + 10A + B .
Ama burada kalan 15 çıkarılmış hali için 33’ün katı olması gerekiyor. Kısıtlamayı 3’e göre sıkı kullanalım:
Rakam toplamını hesaplamak için:
2 + 7 + 3 + 8 + 5 + A + B = 25 + (A + B)
Bu rakam toplamı 3’e bölünmeli.
25 + (A + B) sayısı 3 ile tam bölünmeli.
- 25 mod 3 = 1 (çünkü 3×8=24),
Dolayısıyla:
Yani, A+B’nin 3 ile bölündüğünde kalan 2 olmalıdır.
B. 11 ile bölünebilme kuralı:
Bir sayının basamaklarındaki rakamların 11 ile bölünebilmesi için, basamakların tek ve çift basamaklarında bulunan rakamların toplamlarının farkı 11’in katı olmalıdır.
Kalan sayının basamaklarını yazalım:
2 7 3 8 5 (değeri: 27385 + 10A + B)
Ama buradaki A ve B rakamları 10A + B olarak; sayıyı tam olarak tanımlamak için 273AB yerine kalan sayı 27385 + 10A + B olarak düşünülür.
Basamaklar:
- 2 (on binler basamağı)
- 7 (binler basamağı)
- 3 (yüzler basamağı)
- 8 (onlar basamağı)
- 5 + A*10 + B sayısı tamamlayıcı değil; biraz daha açık olması için orijinal 5 basamaklı sayı: 274AB - 15 kalan hali = 273AB formundadır.
Özür dilerim, karışıklık oldu, kalan sayı orijinal sayının 15 çıkarılmış hali olduğu için son iki basamağı A ve B olan 5 basamaklı sayı olarak yazmalıyız.
Yani, kalan sayı 274AB - 15 yani:
Bu sayının basamakları:
2 7 3 8 5 (burası hala 5 basamaklı sentez olarak 27385) + A ve B değil; burada bir yanlışlık oldu.
Aslında 274AB sayısından 15 çıkarınca A ve B birimler basamağı kaydırıyor? Hayır, sadece sayıya verilen ifade 274AB. Buradaki A ve B rakam olarak sayının son iki basamağıdır. Kalan sayı yine 5 basamaklıdır, son iki basamağı da A ve B’dir. Sorudaki sayı 274AB olduğu için A ve B rakamlarıdır, sayının tamamı:
15 çıkarınca:
Yani son iki basamak aslında 8 \times 10 + 5 + 10A + B gibi düşünülmez. Tam basamak ayrımı için yaklaşım şu olmalı:
Sayının basamakları:
- 10.000’ler basamağı: 2
- 1.000’ler basamağı: 7
- 100’ler basamağı: 4
- 10’lar basamağı: A
- 1’ler basamağı: B
Toplam sayı: 27400 + 10A + B
15 çıkarınca: 27400 + 10A + B - 15 = 27385 + 10A + B
Bu sayı 33’ün katı;
11 ile bölünebilme kuralı için:
-
Tek basamaklardaki rakamların toplamı: 1., 3., 5. basamaklar (sağdan sola): B + 4 + 2 = (B + 6)
-
Çift basamaklardaki rakamların toplamı: A + 7 + 8 (Burada 8 oluşmuyor, 8 değil, yanlış yazıldı. Çünkü 15 çıkarıldığında son basamaklar değişir.)
Bu aşamada en doğru yaklaşım “mod 11” hesabı yapmak olacaktır.
Mod 11 ile hesaplama
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan, rakamların modüler olarak pozisyonlarına göre hesaplanabilir.
5 basamaklı sayı 2 \times 10^4 + 7 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + A \times 10 + B
10’nin mod 11 kuvvetlerini hesaplayalım:
- 10^1 \equiv 10 \pmod{11}
- 10^2 = 100 \equiv 1 \pmod{11} (çünkü 11×9=99, 100-99=1)
- 10^3 = 10^2 \times 10 \equiv 1 \times 10 = 10 \pmod{11}
- 10^4 = 10^3 \times 10 \equiv 10 \times 10 = 100 \equiv 1 \pmod{11}
Yani mod 11 için sırasıyla basamak katsayıları:
- 10.000 basamağı: 1
- 1.000 basamağı: 10
- 100 basamağı: 1
- 10 basamağı: 10
- 1 basamağı: 1
Sayının mod 11 değeri:
Toplam:
Sayının 15 çıkarılmış hali olduğuna göre, bu değer mod 11 sıfır olmalı:
Mod 11 - Kalan bulunması
Öncelikle 76 mod 11 nedir?
Yani:
Unutmayın, 10 ≡ -1 mod 11 olduğundan:
Bu da:
Özetlenen koşullar
- A + B \equiv 2 \pmod{3}
- B - A \equiv 1 \pmod{11}
A ve B rakam olduğu için 0 ≤ A, B ≤ 9’dur.
Hesaplama
B - A \equiv 1 \pmod{11} ifadesi, B - A = 1 veya B - A = 12, ancak B ve A rakam olduğu için fark 12 olamaz, en fazla 9 fark olabilir.
Bu yüzden:
3 ile mod koşulunu karşılayan A+B değerini ve B=A+1 olmasını deneyelim:
A + B \equiv 2 \pmod{3}
B = A + 1 ise:
Yani, 2A + 1 \equiv 2 \pmod{3}
Bu, 2A \equiv 1 \pmod{3}
Eşdeğer olarak:
Çünkü mod 3’te 2’nin ters çarpanı 2’dir:
- 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}
Böylece,
A’nın olası değerleri: 2, 5, 8 (0-9 arası)
Şimdi her bir A için B’yi hesaplayalım, B = A + 1
- A=2 → B=3; A+B=5, mod 3’e göre 5 mod 3 = 2 (doğru)
- A=5 → B=6; A+B=11, 11 mod 3 = 2 (doğru)
- A=8 → B=9; A+B=17, 17 mod 3=2 (doğru)
En az toplam değer için:
Cevap:
A + B toplamının en az değeri 5’tir.
Şıklarda 5 seçeneği D şıkkında yer alıyor.
3. Karşılaştırma Tablosu: Bölünebilme Kuralları
| Özellik | 3 ile Bölünebilme | 11 ile Bölünebilme | 33 ile Bölünebilme |
|---|---|---|---|
| Kural | Rakamlar toplamı 3’ün katı olmalı | Tek ve çift basamakların toplam farkı 11’in katı olmalı | Hem 3 hem de 11’e tam bölünebilmeli |
| Uygulama Alanı | Her sayı | Her sayı | 3 ve 11’in ortak katı |
| Örnek | 273 (2+7+3=12, 3’e bölünür) | 2728 (2+2)-(7+8) = 4 değil → bölünmez | 33 ile bölünebilmesi için hem 3 hem 11 kuralları geçerli olmalı |
4. Özet Tablo
| Öğe | Detay |
|---|---|
| Sayı | 274AB (5 basamaklı doğal sayı) |
| Koşul | 33 ile bölündüğünde kalan 15 |
| İlgili matematik | Modüler aritmetik, bölünebilme kuralları |
| Önemli sonuçlar | B - A = 1, (A + B) \equiv 2 \pmod{3} |
| A ve B’nin olası değerleri | A: 2,5,8 ve B= A+1 |
| Minimum A+B sonucu | 5 |
| Doğru şık | D) 5 |
5. Sık Sorulan Sorular
1. 33’ün bölünebilme şartları nelerdir?
33 sayısı 3 ve 11’in çarpımıdır. Bir sayı hem 3’e hem de 11’e tam bölünebiliyorsa, o sayı 33’e bölünebilir.
2. Modüler aritmetik nedir ve neden kullanılır?
Modüler aritmetik, sayıları bir mod değeri kapsamında işlemeyi sağlar. Bölünebilme ve kalan hesaplarının sistematik bulunmasına özellikle büyük sayılarda olanak verir.
3. Sayıdaki harfler nasıl düşünebilirim?
Sayının basamaklarında yer alan harfler, 0’dan 9’a kadar değişebilen bilinmeyen rakamlardır. Çözümde olasılıkları kısıtlamak için verilen kurallar kullanılır.
Sonraki Adımlar
Dilerseniz bölünebilme kurallarının diğer sayı sistemlerinde uygulamasını veya modüler aritmetik problemlerini derinlemesine açıklayabilirim. İsterseniz benzer TYT matematik problemleri çözümleri de paylaşabilirim.
@1ozlemozyigit
Bu problemin farklı sayılarla nasıl çözülebileceği veya modüler aritmetik kuralına dayalı başka sorular ister misiniz?