KavGmlar
TYT MATEMATIK
IE2212212:ERE21E2isce
a vee dejal y ler agagis bzalider sala-
raktadr
g6,
ln aa o tak sayd
blle o den an az biri ch sevd
Buna göre, bu sayadan hangilert çift sayvdu
A) Yalna a Yalrz Ga
à ve b
E)o vac
ab, ba ik i besamak doğal aaytardit.
ab -ba 3-
clduguna göre, kaç farki, ab sayisi yaziabilir?
A) 2
B)
C}9 DỊ 10
aya Sayist ile ilgill arak uudai ar
cduo ler t don uglanarak khunara-
lanctrr
Kitabın tüm syta numaralannn tccarn 500
sayla numarasnin 601 ka
ina eşitir.
Buna göre, bu kitap kaç sayfadu?
A)118 8) 110 120
D) 121
E) 122
atay larak 3ç raitar alusan to kilaphğır her b
a a sariera uygun dlarak doaysiar
a veripo.
En oshi
başlerarak ardigik bna zgilar rumara olia
rak varilyor.
yadayke
arak worilyor.
En a’taki ata dizlen dosya.ara Bit9eMa 1 dgr.
k ardişik 1ek saymB Bayılar ruTara
Fr ist rata huunan dogya sayis ola la
bulunan doeya saysinin 2 kaina. an all ralla
bulunan dosys Bayrsinin 1 fa2lasina eşitt.
Raflardaki toolam dosya avisL 59 olduğuna
göre, en alt ralta bulunan son dosyahin dosya
numarsst kaçır
A) 43 Bj 46 C47 D) 49
E)51
A =a123,j98%
clduàuna göre, A savsınin rakamlarinin sayi
değerlerinin toplamı kaçtr?
A) 125 B) 135 C 143 D) 152
E) 761
g5.
K, L ve Mii basamaklı doğal sayılar ve K < L<M
oir:
K+L+M =68
olduğuna göre, M nin alabilecağl kaç tarkli de-
ğer vardır?
A) 21
8) 22
C) 23
D) 24
E) 25
TYT Matematik: Tek ve Çift Sayılar Mantık Sorusu (Soru 96)
KULLANILAN KURAL:
- \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}, \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}
- \text{Tek} \times \text{Tek} = \text{Tek}, \text{Çift} \times \text{Herhangi Sayı} = \text{Çift}
- p \implies q mantık önermelerinde hipotezin doğruluğu incelenir ve çelişki yöntemi uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Sayısının Tek/Çift Durumunu İnceleme
- a sayısının tek olduğunu varsayalım:
-
- kural gereği: a tek ise b \cdot c tek olmalıdır. İki sayının çarpımının tek olması için hem b hem de c tek sayı olmalıdır.
- Ancak 3. kural: b ile c’den en az biri çift sayıdır demektedir.
- Bu durum bir çelişki oluşturur. Dolayısıyla a sayısı tek olamaz.
- Buradan a sayısının kesinlikle ÇİFT sayı olduğu bulunur.
-
Adım 2 — b Sayısının Durumunu Belirleme
- a çift sayı olduğuna göre 1. kural uygulanır:
-
- kural: a çift sayı ise a + b tek sayıdır.
- a çift olduğundan: \text{Çift} + b = \text{Tek} \implies b sayısı kesinlikle TEK sayı olmalıdır.
-
Adım 3 — c Sayısının Durumunu Belirleme
-
- kurala göre: b ile c’den en az biri çift sayıdır.
- b sayısının tek olduğunu bulduğumuz için şartın sağlanabilmesi adına c sayısı kesinlikle ÇİFT sayı olmak zorundadır.
Adım 4 — Sonuçların Özeti
- a \rightarrow Çift
- b \rightarrow Tek
- c \rightarrow Çift
Çift olan sayılar a ve c olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) a ve c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpımın Tekliği ve Çiftliği
- Tanım: Bir çarpımın sonucunun tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir. Çarpanlardan en az biri çift ise çarpım daima çifttir.
- Bu problemde: b \cdot c ifadesi ile b ve c’nin durumları netleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
“En az biri çifttir” İfadesini Yanlış Yorumlamak
- Yanlış: İki sayının da kesinlikle çift olması gerektiğini düşünmek.
- Doğru: Sayılardan birinin tek olması durumunda diğerinin mutlaka çift olması yeterlidir.
- Neden Yanlış: “En az biri” ifadesi (b \text{ çift, } c \text{ tek}), (b \text{ tek, } c \text{ çift}) veya her ikisinin de çift olduğu durumları kapsar.
Sayfadaki diğer sorulardan (örneğin 92, 93, 94, 95 veya 97. sorulardan) herhangi birinin detaylı çözümünü yapmamı ister misin?
@Egitim_Danismani evet
TYT Matematik: Basamak Analizi ve Çarpanlara Ayırma (Soru 92)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki basamaklı sayıların çözümlenmesi: ab = 10a + b ve ba = 10b + a
- İki kare farkı özdeşliği: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
- Basamak çözümleme farkı: ab - ba = 9(a - b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İki Basamaklı Sayıları Çözümleme
- ab ve ba sayıları basamak değerlerine göre açılır:ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9(a - b)
Adım 2 — Eşitliği Düzenleme ve Sadeleştirme
- Verilen eşitlikte yerlerine yazılır:9(a - b) = 3a^2 - 3b^2
- Sağ taraf 3 parantezine alınır ve iki kare farkı uygulanır:9(a - b) = 3(a^2 - b^2)9(a - b) = 3(a - b)(a + b)
- Eşitliğin her iki tarafı 3 ile sadeleştirilir:3(a - b) = (a - b)(a + b)
- İfade tek bir tarafa toplanarak ortak çarpan parantezine alınır:(a - b)(a + b) - 3(a - b) = 0(a - b)(a + b - 3) = 0
Adım 3 — Kökleri ve Olası Durumları İnceleme
Çarpımın sıfır olması için iki ayrı durum geçerlidir:
-
1. Durum: a - b = 0 \implies a = b
ab ve ba iki basamaklı sayı olduğundan a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır (a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}).
a = b şartını sağlayan sayılar:11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 \quad \rightarrow \mathbf{9\text{ tane}} -
2. Durum: a + b - 3 = 0 \implies a + b = 3
a ve b sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere toplamı 3 olan ikililer:- a = 1, b = 2 \implies ab = 12
- a = 2, b = 1 \implies ab = 21
Buradan da \mathbf{2\text{ tane}} sayı elde edilir.
Adım 4 — Toplam Farklı Sayı Adedini Bulma
- 1. durumdan 9 adet, 2. durumdan 2 adet olmak üzere:\text{Toplam} = 9 + 2 = 11\text{ farklı } ab \text{ sayısı yazılabilir.}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme Kuralı
- Tanım: Bir denklemde her iki tarafta bulunan (a - b) ifadesi doğrudan sadeleştirilip yok edilirse a = b kökü kaybedilebilir. Bu nedenle ifadeler ortak paranteze alınarak tüm kökler incelenmelidir.
- Bu problemde: (a-b) sadeleştirmesi yerine paranteze alarak hem a=b hem de a+b=3 durumları eksiksiz bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
a = b Durumunu Unutmak
- Yanlış: Eşitliğin her iki tarafındaki (a - b) ifadesini doğrudan bölüp sadece a + b = 3 eşitliğinden 2 cevabına ulaşmak.
- Doğru: (a - b) = 0 durumu da denklemi sağladığından a = b durumu (9 farklı sayı) mutlaka hesaba katılmalıdır.
- Neden Yanlış: Sıfıra bölme yapılamayacağı için sadeleştirme yapılırken sadeleştirilen çarpanın sıfır olma durumu ayrı bir kök olarak incelenmelidir.
Sayfadaki sıradaki soru olan 93. sorunun (kitap sayfa sayısı problemi) çözümüne geçelim mi?
@Elifnur_Umutoglu hadi
TYT Matematik: Ardışık Sayılar ve Sayfa Sayısı Problemi (Soru 93)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 1’den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplam formülü:1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Tanımlama ve Toplamı İfade Etme
- Kitabın toplam sayfa sayısına n diyelim.
- Sayfalar 1’den başlayarak numaralandırıldığı için son sayfa numarası da n olur.
- Kitabın tüm sayfa numaralarının toplamı:\text{Toplam} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
Adım 2 — Verilen Eşitliği Kurma
- Soruda tüm sayfa numaralarının toplamının, son sayfa numarasının (n) 60 katına eşit olduğu belirtilmiştir:\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 60 \cdot n
Adım 3 — Denklemi Çözme
- Sayfa sayısı sıfır olamayacağından (n \neq 0), eşitliğin her iki tarafındaki n ifadeleri sadeleştirilir:\frac{n + 1}{2} = 60
- İçler dışlar çarpımı yapılır:n + 1 = 120n = 120 - 1 = 119
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 119
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Gauss Toplam Formülü
- Tanım: 1’den başlayan ardışık tam sayıların toplamını bulmak için son terim ile bir fazlası çarpılıp ikiye bölünür.
- Bu problemde: Sayfalar 1’den n’ye kadar sıralandığı için formül doğrudan \frac{n(n+1)}{2} şeklinde uygulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
n+1 = 120 Eşitliğinde +1’i Unutmak
- Yanlış: İçler dışlar çarpımı sonucunda doğrudan n = 120 cevabına (C seçeneği) yönelmek.
- Doğru: Formüldeki pay kısmının (n+1) olduğunu dikkate alarak 1’i karşı tarafa çıkarma olarak geçirmek (n = 119).
- Neden Yanlış: Dikkatsizlik sonucu formüldeki +1 ihmal edildiğinde çeldirici şık olan 120 işaretlenebilir.
Bir sonraki soru olan 94. sorunun (büyük basamaklı sayıların rakamları toplamı) çözümüne devam edelim mi?
@sorumatik_uzman_bot evet
TYT Matematik: Büyük Basamaklı Sayıların Çarpımı ve Rakamlar Toplamı (Soru 94)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Basamak sayısı n olan ve sonu 8 ile biten 99\dots98 sayısı:\underbrace{999\dots98}_{n\text{ basamak}} = 10^n - 2
- Çarpmanın çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:x \cdot (10^n - 2) = x \cdot 10^n - 2x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıyı 10’un Kuvveti Cinsinden Yazma
- 15 basamaklı 999\dots98 sayısı, 15 basamaklı en büyük sayının (10^{15}-1) bir eksiğidir:\underbrace{999\dots98}_{15\text{ basamak}} = 10^{15} - 2
Adım 2 — Çarpma İşlemini Dağıtma
- A sayısı bu ifade kullanılarak yeniden yazılır:A = 4123 \cdot (10^{15} - 2)A = 4123 \cdot 10^{15} - (4123 \cdot 2)A = 4123 \cdot 10^{15} - 8246
Adım 3 — Çıkarma İşlemini Yapma ve Basamakları Belirleme
- 4123 \cdot 10^{15} sayısı, 4123’ün sağına 15 adet sıfır yazılmasıyla oluşur:4123\underbrace{000\dots0000}_{15\text{ basamak}}
- Bu sayıdan 8246 çıkarıldığında:
- Sol kısımdaki 4123 sayısından 1 onluk alınır ve geriye 4122 kalır.
- 15 basamağın son 4 basamağı 10000 - 8246 = \mathbf{1754} olur.
- Arada kalan 15 - 4 = \mathbf{11} basamağın tamamı 9 rakamından oluşur.
- Elde edilen A sayısının açılımı:A = 4122\underbrace{999\dots999}_{11\text{ tane } 9}1754
Adım 4 — Rakamlar Toplamını Hesaplama
- Sol kısım (4122): 4 + 1 + 2 + 2 = 9
- Orta kısım (11 tane 9): 11 \cdot 9 = 99
- Sağ kısım (1754): 1 + 7 + 5 + 4 = 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 125
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 10^n - k Dönüşümü
- Tanım: Birbirini tekrar eden 9’lardan oluşan veya sonu farklı biten büyük sayıları 10^n tabanına çevirmek, doğrudan çarpma yapmak yerine basamak analizini son derece kolaylaştırır.
- Bu problemde: 15 basamaklı sayı doğrudan 10^{15}-2 olarak yazılarak işlem sadeleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
9 Sayısını Yanlış Saymak
- Yanlış: 15 basamağın tamamını 9 sayıp sonradan çıkarma yaparken basamak adedini 15 - 4 = 11 yerine yanlış hesaplamak.
- Doğru: Son 4 basamak 1754 için ayrıldığından geriye tam olarak 15 - 4 = 11 adet 9 kaldığına dikkat edilmelidir.
- Neden Yanlış: Basamak sayımındaki 1 basamaklık hata rakamlar toplamını 9 eksik veya fazla bularak yanlış şıkka yönlendirir.
Sayfadaki sıradaki soru olan 95. sorunun (üç basamaklı sayıların sıralanması ve değer aralığı problemi) çözümüne geçelim mi?
@sorumatik_uzman_bot evet
TYT Matematik: Basamak Kavramı ve Değer Aralığı Problemi (Soru 95)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki basamaklı en küçük doğal sayı: 10
- Eşitsizlik sıralaması: 10 \le K < L < M
- Toplamı sabit olan ifadelerde:
- Bir terimin en büyük değerini alması için diğer terimlerin en küçük seçilmesi gerekir.
- Bir terimin en küçük değerini alması için terimlerin birbirine en yakın seçilmesi gerekir.
- Terim sayısı formülü: \text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — M Sayısının En Büyük (M_{\max}) Değerini Bulma
- M’nin en büyük olması için K ve L sayıları şartları sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayılar olarak seçilmelidir:
- K = 10
- L = 11 (çünkü K < L)
- Denklemde yerine yazılır:K + L + M = 6810 + 11 + M = 6821 + M = 68 \implies M_{\max} = 47
Adım 2 — M Sayısının En Küçük (M_{\min}) Değerini Bulma
- M’nin en küçük değerini bulmak için sayılar birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.
- 68 sayısı 3’e bölündüğünde ortalama değer elde edilir:68 \div 3 = 22{,}66\dots
- Sayıların ardışık veya birbirine en yakın durumları incelenir:
- M = 23 olursa: K + L = 68 - 23 = 45 olur. L < 23 şartıyla en büyük L = 22 ve K = 21 seçilse bile 21 + 22 = 43 < 45 olduğundan M = 23 olamaz.
- M = 24 olursa: K + L = 68 - 24 = 44 olur.
- L = 23 ve K = 21 seçildiğinde 10 \le 21 < 23 < 24 sıralaması sağlanır ve toplam 21 + 23 + 24 = 68 olur.
- Buradan M’nin alabileceği en küçük değer:M_{\min} = 24
Adım 3 — M Sayısının Alabileceği Değer Sayısını Hesaplama
- M sayısı 24 ile 47 arasındaki (bu değerler dahil) tüm tam sayı değerlerini alabilir.
- Değer adedi terim sayısı formülü ile hesaplanır:\text{Terim Sayısı} = 47 - 24 + 1 = 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ekstremum (En Küçük / En Büyük) Değer Analizi
- Tanım: Toplamı sabit olan ardışık olmayan tam sayılarda, sınır değerleri belirlemek için değişkenlerin birbirine en uzak (en küçük taban değerler) ve en yakın (ortalama etrafındaki değerler) konumları incelenir.
- Bu problemde: M’nin üst sınırı 10 ve 11 seçilerek, alt sınırı ise sayılar birbirine yaklaştırılarak (21, 23, 24) bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
İki Basamaklı Şartını Unutmak
- Yanlış: K ve L için en küçük doğal sayı olarak 0 veya 1 değerlerini alıp M’nin üst sınırını 68 - (0 + 1) = 67 gibi hatalı hesaplamak.
- Doğru: Soruda K, L, M sayılarının iki basamaklı olduğu belirtildiğinden K \ge 10 ve L \ge 11 olarak alınmalıdır.
- Neden Yanlış: Sorunun başında verilen küme kısıtlamaları (iki basamaklı olma şartı) göz ardı edildiğinde tanım aralığı yanlış kurulur.
Sayfadaki son soru olan 97. sorunun (kitaplık rafları ve dosya numaralandırma problemi) çözümünü yapmamı ister misin?
@sorumatik_uzman_bot evet
TYT Matematik: Sayı Problemleri ve Terim Sayısı (Soru 97)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ardışık tek sayma sayılarının genel terimi: n. terim için 2n - 1
- Alternatif terim sayısı formülü:\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Raflardaki Dosya Sayılarını Değişkenlerle Tanımlama
- Üst raftaki dosya sayısına U, orta raftaki dosya sayısına O, alt raftaki dosya sayısına A diyelim.
- Sorudaki bilgilere göre:
- Üst raftaki dosya sayısı, orta raftakinin 2 katıdır:U = 2 \cdot O \implies O = \frac{U}{2}
- Üst raftaki dosya sayısı, alt raftakinin 1 fazlasıdır:U = A + 1 \implies A = U - 1
- Üst raftaki dosya sayısı, orta raftakinin 2 katıdır:
- Tüm değişkenleri orta raftaki dosya sayısı (O) cinsinden yazalım:
- O = x olsun.
- U = 2x
- A = 2x - 1
Adım 2 — Toplam Dosya Sayısı Denkleminden x Değerini Bulma
- Üç raftaki toplam dosya sayısı 59 olarak verilmiştir:U + O + A = 592x + x + (2x - 1) = 595x - 1 = 595x = 60 \implies x = 12
Adım 3 — Alt Raftaki Dosya Sayısını Hesaplama
- Bulduğumuz x = 12 değerini alt raftaki dosya sayısında (A) yerine yazalım:A = 2x - 1A = 2(12) - 1 = 24 - 1 = 23\text{ adet dosya}
Adım 4 — Alt Raftaki Son Dosyanın Numarasını Bulma
- Alt rafa 1’den başlanarak ardışık tek sayılar (1, 3, 5, \dots) verilmiştir.
- 23. tek sayma sayısı:\text{Son Dosya Numarası} = 2n - 1\text{Son Dosya Numarası} = 2 \cdot 23 - 1 = 46 - 1 = 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Tek Sayıların n. Terimi
- Tanım: 1’den başlayan ardışık tek sayılar (1, 3, 5, \dots) dizisinde n. terim daima 2n - 1 kuralı ile bulunur.
- Bu problemde: Alt rafta 23 adet dosya bulunduğundan n = 23 alınarak son numara doğrudan 2(23) - 1 = 45 olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
2n ile 2n-1 Formüllerini Karıştırmak
- Yanlış: Çift sayı kuralını uygulayarak 2 \cdot 23 = 46 veya 23’e 1 ekleyip/çıkararak 47 gibi komşu şıklara yönelmek.
- Doğru: İlk terim 1 olduğu için tek sayılar formülü olan 2n - 1 kuralı uygulanmalıdır.
- Neden Yanlış: Terim sayısı ile son terim arasındaki ilişkiyi kurarken artış miktarının 2 olduğu ve başlangıç değerinin tek sayı olduğu unutulmamalıdır.
Bu sayfadaki tüm soruları tamamlamış olduk. Başka bir test veya sayfadan çözmemi istediğin yeni bir TYT sorusu var mı?
@sorumatik_uzman_bot evet
Yeni sorunun fotoğrafını yükleyebilir veya soruyu doğrudan metin olarak buraya yazabilirsin. Paylaştığın anda tüm adımlarıyla detaylı çözümünü hazırlayabilirim.
Yeni sorun hangi TYT konusuna ait?