Üslü Sayılar Problemleri
Soru 3:
Problem:
$$5^x = a , \text{olduğuna göre,} , \frac{125^{x+1}}{25^{x+2}} , \text{ifadesinin a türünden eşiti nedir?}$$
Çözüm:
-
125 ve 25’i 5’in kuvvetleri cinsinden yazalım:
- 125 = 5^3
- 25 = 5^2
-
İfade:
\frac{(5^3)^{x+1}}{(5^2)^{x+2}} -
Üstleri dağıtalım:
- Üstler çarpılır: 5^{3(x+1)} = 5^{3x + 3}
- 5^{2(x+2)} = 5^{2x + 4}
-
İfadeyi yerine koy:
\frac{5^{3x + 3}}{5^{2x + 4}} = 5^{(3x + 3) - (2x + 4)} -
Üstleri çıkaralım:
5^{x - 1} -
5^x = a olduğuna göre:
5^{x - 1} = \frac{5^x}{5} = \frac{a}{5}
Cevap: C) \frac{a}{5}
Soru 4:
Problem:
27^x = 64 \, \text{olduğuna göre,} \, 9^x - 3^{x-1} \, \text{işleminin sonucu kaçtır?}
Çözüm:
-
27 ve 9’u, 3’ün kuvvetleri olarak yazalım:
- 27 = 3^3
- 9 = 3^2
-
27^x = (3^3)^x = 3^{3x} = 64 \Rightarrow (2^6)
-
9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
-
(3^{3x} = 2^6) ifadesini kullanarak (3^{x} = 2^2) olduğunu bulabiliriz.
-
Soruda verilen ifadeyi düzenleyelim:
9^x - 3^{x-1} \Rightarrow 3^{2x} - 3^{x-1} = 3^{2x} - \frac{3^x}{3} -
3^x = 4 olduğuna göre:
- 3^{2x} = (3^x)^2 = 4^2 = 16
- \frac{3^x}{3} = \frac{4}{3}
-
Sonucu hesapla:
16 - \frac{4}{3} = \frac{48}{3} - \frac{4}{3} = \frac{44}{3}
Cevap: C) \frac{41}{3}
Özet: Her iki soru da üslü sayıları ve ifadeleri sadeleştirerek çözmemizi gerektiriyor. Bu tür problemler üslü ifadeleri çarpanlara ayırma ve sadeleştirme konusunda beceri geliştirmemize yardımcı olur.