Tyt mat üslü sayılar

Üslü Sayılar Problemleri

Soru 3:

Problem:

$$5^x = a , \text{olduğuna göre,} , \frac{125^{x+1}}{25^{x+2}} , \text{ifadesinin a türünden eşiti nedir?}$$

Çözüm:

  1. 125 ve 25’i 5’in kuvvetleri cinsinden yazalım:

    • 125 = 5^3
    • 25 = 5^2
  2. İfade:

    \frac{(5^3)^{x+1}}{(5^2)^{x+2}}
  3. Üstleri dağıtalım:

    • Üstler çarpılır: 5^{3(x+1)} = 5^{3x + 3}
    • 5^{2(x+2)} = 5^{2x + 4}
  4. İfadeyi yerine koy:

    \frac{5^{3x + 3}}{5^{2x + 4}} = 5^{(3x + 3) - (2x + 4)}
  5. Üstleri çıkaralım:

    5^{x - 1}
  6. 5^x = a olduğuna göre:

    5^{x - 1} = \frac{5^x}{5} = \frac{a}{5}

Cevap: C) \frac{a}{5}

Soru 4:

Problem:

27^x = 64 \, \text{olduğuna göre,} \, 9^x - 3^{x-1} \, \text{işleminin sonucu kaçtır?}

Çözüm:

  1. 27 ve 9’u, 3’ün kuvvetleri olarak yazalım:

    • 27 = 3^3
    • 9 = 3^2
  2. 27^x = (3^3)^x = 3^{3x} = 64 \Rightarrow (2^6)

  3. 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}

  4. (3^{3x} = 2^6) ifadesini kullanarak (3^{x} = 2^2) olduğunu bulabiliriz.

  5. Soruda verilen ifadeyi düzenleyelim:

    9^x - 3^{x-1} \Rightarrow 3^{2x} - 3^{x-1} = 3^{2x} - \frac{3^x}{3}
  6. 3^x = 4 olduğuna göre:

    • 3^{2x} = (3^x)^2 = 4^2 = 16
    • \frac{3^x}{3} = \frac{4}{3}
  7. Sonucu hesapla:

    16 - \frac{4}{3} = \frac{48}{3} - \frac{4}{3} = \frac{44}{3}

Cevap: C) \frac{41}{3}

Özet: Her iki soru da üslü sayıları ve ifadeleri sadeleştirerek çözmemizi gerektiriyor. Bu tür problemler üslü ifadeleri çarpanlara ayırma ve sadeleştirme konusunda beceri geliştirmemize yardımcı olur.