TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI -10
57.
GEN
59.
-D
Şekilde ABC eşkenar üçgeni ile FBD üçgeni çzil-
miştir.
JAE| = |CD|, m(ABĒ) = 35°
Yukarıdaki verilere göre, m(BFD) =x kaç dere-
cedir?
A)
95
B) 100 C) 105 D) 110 E) 115
Eşkenar Üçgende Açı ve Eşlik Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eşkenar üçgenin tüm iç açıları 60^\circ ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir:|AB| = |BC| = |AC| = a, \quad m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ
- Doğrusal açı kuralı: m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{ACD}) = 180^\circ
- Bir üçgende Sinüs Teoremi:\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}
- Üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar ve Açı Değerlerini Tanımlama
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna |AB| = |BC| = |AC| = a diyelim.
Soruda |AE| = |CD| = k olarak verilmiştir.
Buradan:
|EC| = |AC| - |AE| = a - k
B, C, D \text{ doğrusal olduğundan, } m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
Adım 2 — \triangle ABE Üçgeninde Açı ve Kenar Bağıntısı
m(\widehat{A}) = 60^\circ ve m(\widehat{ABE}) = 35^\circ olarak verilmiştir.
\triangle ABE’nin iç açıları toplamından:
m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - (60^\circ + 35^\circ) = 85^\circ
\triangle ABE üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında:
\frac{|AE|}{\sin(\widehat{ABE})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{AEB})} \implies \frac{k}{\sin 35^\circ} = \frac{a}{\sin 85^\circ}
Buradan kenar oranı elde edilir:
\frac{a}{k} = \frac{\sin 85^\circ}{\sin 35^\circ}
Adım 3 — \triangle CDE Üçgeninde m(\widehat{D}) Açısını Belirleme
F, E, D doğrusal olduğundan m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{BDF}) = \alpha diyelim.
\triangle CDE üçgeninde m(\widehat{ECD}) = 120^\circ olduğundan:
m(\widehat{CED}) = 180^\circ - (120^\circ + \alpha) = 60^\circ - \alpha
\triangle CDE üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında:
\frac{|CE|}{\sin \alpha} = \frac{|CD|}{\sin(60^\circ - \alpha)} \implies \frac{a - k}{\sin \alpha} = \frac{k}{\sin(60^\circ - \alpha)}
\frac{a - k}{k} = \frac{\sin \alpha}{\sin(60^\circ - \alpha)} \implies \frac{a}{k} - 1 = \frac{\sin \alpha}{\sin(60^\circ - \alpha)}
\frac{a}{k} = \frac{\sin(60^\circ - \alpha) + \sin \alpha}{\sin(60^\circ - \alpha)}
Toplam-dönüşüm formülü uygulandığında pay kısmı:
\sin(60^\circ - \alpha) + \sin \alpha = 2 \sin 30^\circ \cos(30^\circ - \alpha) = \cos(30^\circ - \alpha)
Payda kısmı ise tümler açı kuralından \sin(60^\circ - \alpha) = \cos(30^\circ + \alpha) olarak yazılabilir:
\frac{a}{k} = \frac{\cos(30^\circ - \alpha)}{\cos(30^\circ + \alpha)}
Adım 2’de bulunan oran ile eşitlendiğinde:
\frac{\cos(30^\circ - \alpha)}{\cos(30^\circ + \alpha)} = \frac{\sin 85^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{\cos 5^\circ}{\cos 55^\circ}
Buradan doğrudan görülür ki:
30^\circ - \alpha = 5^\circ \implies \alpha = 25^\circ
Dolayısıyla m(\widehat{BDF}) = 25^\circ bulunur.
Adım 4 — \triangle FBD Üçgeninde x Açısını Bulma
\triangle FBD üçgeninin iç açıları toplamı 180^\circ’dir:
- m(\widehat{FBD}) = 60^\circ (Eşkenar üçgenin B köşesi)
- m(\widehat{BDF}) = 25^\circ
- m(\widehat{BFD}) = x
x + 60^\circ + 25^\circ = 180^\circ
x + 85^\circ = 180^\circ
x = 95^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 95
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sinüs Teoremi ile Geometrik Eşleme: Verilen özel açıların ve eşit kenar parçalarının trigonometrik oranlar yardımıyla tek bir açıya karşılık gelmesini sağlar.
- Doğrusallık ve Dış Açı: B, C, D noktalarının doğrusallığı sayesinde m(\widehat{ACD}) bütünler açı (120^\circ) olarak doğrudan bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: |AE| = |CD| eşitliğinden dolayı \triangle ABE ile \triangle CBD üçgenlerini doğrudan eş veya benzer kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Aradaki açıların (60^\circ ve 120^\circ) farklı olduğunu fark edip kenar-açı bağıntılarını doğru kurmak.
Benzer bir eşkenar üçgen sorusunu sentetik ek çizim yöntemiyle de incelemek ister misin?