Cevap: Türev İşareti Tablosu İncelemesi
Fotoğrafta görülen soruda, bir fonksiyonun türevinin işaret tablosu verilmiş ve buna göre 3 ifade değerlendirilmiştir. Soruyu çözmek için verilen tabloyu ve ifadeleri dikkatlice inceleyelim:
1. İşaret Tablosunun Anlamı
- Tabloya göre, türev fonksiyonu f'(x) negatif (-), pozitif (+) ve sıfır (0) değerlerini alıyor.
- Önemli noktalar:
- x = -2, x = 1, ve x = 3 noktalarında türev f'(x) = 0 olmuş, yani bu noktalar kritik noktalardır.
- x \in (-\infty, -2) aralığında f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalmaktadır.
- x \in (-2, 1) aralığında f'(x) > 0 olduğundan fonksiyon artmaktadır.
- x \in (1, 3) aralığında f'(x) > 0 olduğundan fonksiyon yine artmaktadır.
- x \in (3, \infty) aralığında f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalmaktadır.
2. İfadeleri Değerlendirelim
I. f(x), [-2, 3] aralığında artandır.
- Doğru değil. Çünkü:
- f'(x) işaret tablosuna göre [-2, 1] ve [1, 3] aralıklarında pozitif olduğundan f(x) bu bölgelerde artar.
- Fakat bu, [-2, 3] aralığında sürekli artış anlamına gelmez. (Örneğin, x=3’de fonksiyonun türevi sıfırdır ve duraklama yapar.)
II. f'(x), (3, \infty) aralığında azalandır.
- Yanlış! Çünkü:
- (3, \infty) aralığında fonksiyon f(x) azalıyor, fakat f'(x) sabit bir azalış göstermez. İşaret tablosu türevin sıfırın altına indiğini gösterir.
***III. Fonksiyon X kes @ user.USER
Cevap: Türev Sorusu Çözümü
Bazı yanlış analizlerden dolayı yeniden açıklama yapıyorum:
1. İşaret Tablosunun Anlamı
Verilen tablodan türevin işaretine göre fonksiyonun artma ve azalma durumlarını inceleyelim:
- x \in (-\infty, -2) aralığında f'(x) < 0 olduğundan f(x) azalmaktadır.
- x \in (-2, 1) aralığında f'(x) > 0 olduğundan f(x) artmaktadır.
- x \in (1, 3) aralığında f'(x) > 0 olduğundan f(x) hâlâ artmaktadır.
- x \in (3, \infty) aralığında f'(x) < 0 olduğundan f(x) yeniden azalmaktadır.
2. İfadelerin Değerlendirilmesi
I. f(x), [-2, 3] aralığında artandır.
- İşaret tablosuna göre [-2, 1] arasında fonksiyon artmakta, ardından [1, 3] aralığında da artmaya devam etmektedir.
- Dolayısıyla İfade I DOĞRUDUR.
II. f'(x), (3, \infty) aralığında azalandır.
- Bu ifade yanlıştır. Çünkü işaret tablosuna göre (3, \infty) aralığında f'(x) negatif olduğundan fonksiyon f(x) azalmaktadır, fakat f'(x)'in azalıp azalmadığı bu bilgilerden doğrudan çıkarılamaz. İşaret tablosu sadece türevin işaretini verir.
III. f fonksiyonu x eksenine apsisi 1 olan noktada teğettir.
- x = 1 noktasında türev f'(x) = 0 olduğundan ve bu noktada işaret değişimi analizine bakarak fonksiyonun teğet olduğunu kesin olarak söyleyebiliriz. Bu doğru bir ifadedir.
Sonuç
Doğru olan ifadeler:
- I ve III
Cevap: D) I ve III
Aşağıda f fonksiyonunun türevinin işaret tablosu verilmiştir. Buna göre, verilen ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevap:
Soruda, f fonksiyonunun türev (f’(x)) işaret tablosu verilmiş ve buna göre aşağıdaki üç ifade hakkında kesin doğruluk durumu sorulmuştur.
Tablodan özet:
| x | -∞ | -2 | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f’(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Yani, f’(x) şu aralıklarda:
- (-\infty, -2)'de negatif
- (-2, 1)'de pozitif
- (1, 3)'de pozitif
- (3, \infty)‘de negatif
Ve x = -2, x = 1, x = 3 noktalarında f’(x) = 0.
Şimdi, şıklara bakalım:
I. f(x), [-2, 3] aralığında artandır.
- Bu yanlış. Çünkü [-2, 3]'te x = -2 ve x = 3 noktalarında f'(x) = 0, (-2, 3) aralığında ise f'(x) > 0 (fonksiyon artan). Fakat -2 ve 3 noktaları da dahil olduğu için, sadece bu aralıkta monoton artan diyemeyiz, çünkü uç noktalarda sabit olabilir. Ancak matematik literatüründe uç noktalar türevde sıfırsa ve arada sürekli artış varsa, “artan” denebilir. Fakat “kesinlikle artandır” ifadesi, f'(x)>0 olmasını gerektirir, burada bu noktalar hariç pozitif, sınır noktalarında sıfır. Yani doğru.
II. f'(x), (3, \infty) aralığında azalandır.
- Bu yanlış. Çünkü f’(x)<0 olduğu için f(x) azalan olur. Şıklarda “f’(x) azalandır” demek, türevin değeri azalıyor demektir, yani f’‘(x)<0 olmalıdır. Burada tabloya bakarak f’'(x) hakkında yorum yapılamaz. Ancak genellikle bu tür sorularda, asıl sorulan f(x)'in azalan olup olmadığıdır. Burada f'(x)<0 olduğundan f(x) azalan olur. Soruda bir yazım yanlışlığı var gibi. Mantıken II. şık “f(x), (3, \infty) aralığında azalandır” olarak alınmalı. Bu durumda doğru.
III. f fonksiyonu x eksenine apsisi 1 olan noktada teğettir.
- x=1’de f'(1)=0 olduğuna göre bu noktada fonksiyonun teğet geçmesi mümkündür. Ama bu doğrunun sıfır olduğu noktalar yerel maksimum, minimum veya yatay teğet olabilir. Ancak x=1’de hem öncesinde hem sonrasında türev pozitif, yani kritiktir fakat yerel ekstremum oluşmaz, fonksiyon düz bir şekilde geçer, grafikte bir teğetlik (dönüm noktası olabilir). Ancak kesinlikle x eksenine teğet olduğuna dair bir bilgi yoktur; sadece türev sıfırdır. f(1)=0 olması gerekirdi, oysa biz sadece türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bu kesinlikle doğru değildir.
Kesinlikle doğru olanlar:
- I ve II
Doğru cevap:
C) I ve II
Konu Anlatımı:
Türevin İşaret Tablosu ve Fonksiyonun Artış-Azalışı
- Eğer bir aralıkta türev pozitifse (f'(x)>0), fonksiyon artan
- Eğer bir aralıkta türev negatifse (f'(x)<0), fonksiyon azalan
- Türev sıfırsa (f'(x) = 0), fonksiyonun bu noktada yerel ekstremum, yatay teğet veya eğikliği yoktur.
Önemli Notlar:
- x=a’da f'(a) = 0 ise, buna kritik nokta denir. Fonksiyonun maksimumu, minimumu ya da yatay teğet noktası olabilir.
- Bir fonksiyonun bir noktada x eksenine teğet olması için, hem f(a)=0 hem de f'(a)=0 olması gerekir. Sadece türev sıfırsa, x ekseniyle teğetlik garanti değildir.
Özet Tablo
| Şık | Doğru / Yanlış | Gerekçe |
|---|---|---|
| I | Doğru | [-2,3] aralığında türev pozitif veya sıfır, fonksiyon artan |
| II | Doğru | (3,\infty)'de türev negatif, fonksiyon azalan |
| III | Yanlış | Türev sıfır ancak fonksiyonun x eksenine teğet olması için f(1)=0 bilinmiyor |
Aşağıda f fonksiyonunun türevinin işaret tablosu verilmiştir.
Görseldeki tabloya baktığımızda:
• f′(x) < 0 için x < –2
• f′(x) > 0 için –2 < x < 1
• f′(x) > 0 için 1 < x < 3
• f′(x) < 0 için x > 3
Buna göre verilen ifadeleri inceleyelim:
-
f(x), [–2, 3] aralığında artandır.
–2 ile 1 arasında türev artı değerde, 1 ile 3 arasında da türev artı değerde olduğundan, f(x) bu iki aralıkta sürekli olarak artar. Dolayısıyla [–2, 3] aralığında artan olduğu bilgisi doğrudur. -
f′(x), (3, ∞) aralığında azalandır (yani f(x) bu aralıkta azalan fonksiyondur).
3’ten sonra türev eksi değer aldığı için f(x) x > 3 bölgesinde azalandır. Bu ifade de doğrudur. -
f fonksiyonu x eksenine apsisi 1 olan noktada teğettir.
Bir fonksiyonun x = 1 noktasında x-eksenine teğet olması demek f(1) = 0 olmasını gerektirir. Elimizdeki işaret tablosu f(1)’in değerini (yani fonksiyonun 1’de sıfır olup olmadığını) bize söylemez; sadece f′(1)’in işaretini söyler. Bu nedenle fonksiyonun x = 1’de x-eksenine teğet olduğunu kesin olarak bilemeyiz.
Dolayısıyla kesinlikle doğru olan ifadeler:
• I ve II’dir.
Cevap seçeneği: C) I ve II
I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!