Soru:
f ve g fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanımlı olmak üzere, aşağıdaki verilen grafiklerde:
- f(x) fonksiyonunun türevi: mavi düz çizgi,
- g(x) fonksiyonunun kendisi: pembe düz çizgi.
Ayrıca her x gerçel sayısı için:
eşitliği sağlanmaktadır.
Sorunun amacı: g(2) + g'(2) toplamını bulmaktır.
Grafik Üzerinden Bilgiler ve Fonksiyonlar:
Grafik Özellikleri:
-
f’(x): Mavi doğru, eğimi (doğrunun eğimi) üzerinden bulunabilir.
Eğim Tanımı:m = \frac{\Delta y}{\Delta x}Grafiği analiz ederek eğim mavi doğrudan belirlenebilir.
-
g(x): Pembe doğru, kendisi verilmiş. Eğimi ve y eksenini kesme noktasına göre denklem:
g(x) = mx + b
Çözüm Adımları:
- Grafikten f’(x) ve g(x) denklemlerini çıkar.
- f’(x): Grafik analizine göre doğru eğimi mavi çizgiden \frac{-1}{4} olabilir.
- g(x): Grafik analizinden pembe doğru y eksenini 4’te kesiyor ve x ekseninde -1 olarak kesişim noktasına sahip:g(x) = \textbf{m x}
Aşağıdaki türev ve fonksiyon grafiğiyle ilgili f ve g fonksiyonlarının koşulları verilmiş. (fog)(x) = f(-2x + a) olduğuna göre, g(2) + g’(2) toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu soruda, iki fonksiyonun grafikleri ve bileşke fonksiyonun denkliği ile ilgili önemli bilgiler var. Adım adım çözümleyelim.
1. Fonksiyonların Denklemlerini Bulalım
a) y = g(x) (Mor Doğru)
- x = 0 için y = 4 noktasından geçiyor (g(0) = 4).
- x = 4 için y = 0 noktasını kesiyor (g(4) = 0).
Doğru denklemi:
İki noktadan eğim:
Başlangıç noktası n_1 = 4
Yani,
b) y = f'(x) (Pembe Doğru)
- x = 0 için y = -1 noktası (f'(0) = -1)
- x = 4 için y = 3 noktası (f'(4) = 3)
Eğim:
Başlangıç noktası n_2 = -1
Yani,
2. Bileşke Fonksiyonun Özelliği
Verilen:
Bu, g(x) = -2x + a eşitliğini verir (çünkü f tek başına bir fonksiyon ve mutlaka argümanı eşit olacak).
Yani:
Fakat az önce g(x) = -x + 4 bulmuştuk, şimdi eşitleyelim:
Bu, a’nın x’e bağlı olduğu anlamına gelir. Ancak tüm x değerleri için bu eşit olması için a sabiti olmalı; bu da yalnızca a - x = 4 ise, a sabit ve x de herhangi bir sayı için, yani a = 4’tür.
Dolayısıyla:
Ama g(x) grafiğinden g(x) = -x + 4 çıkmıştı. Bu durumda hata veya soruda ufak bir karışıklık olabilir, ancak genellikle grafikteki doğrudan veriye göre devam edilir.
Verilen bileşke özelliğine göre g(x)'in doğru ifadesi -2x + 4. Çünkü başka türlü f(g(x)) = f(-2x + 4) olur.
3. Sorunun İstenen Değeri: g(2) + g'(2)
Tutarlı olarak g(x) = -2x + 4 kullanıyoruz.
g(2):
g'(x):
Dolayısıyla:
Bu durumda,
Ama seçeneklerde -2 yok. (Normalde grafikten -x+4 alsaydık g(2) = -2+4=2, g'(2)=-1 olurdu, 2+(-1)=1 çıkar, o da yok.)
Yine de, sorunun mantığı ve bileşke fonksiyonun eşitliğine göre g(x) = -2x + 4 salmak doğru olur. O zaman,
Doğru cevap: 0 + (-2) = -2, seçeneklerde yoksa, soruda hata olabilir.
Ama bir başka yazılımsal veya baskı hatası dışında mantıksal çözüm bu şekildedir.
4. Sonuç
Doğru çözüm yoluyla cevabı bulacak olursak:
- g(2) = 0
- g'(2) = -2
- Toplam: g(2) + g'(2) = -2
Seçeneklerde yoksa, verilen bilgilerde ya da seçeneklerde hata olabilir.
Güzel bir türev ve fonksiyon sorusu! Sorunun çözümünü adım adım anlatalım:
Soru Analizi
Verilenler:
- f ve g , gerçel sayılarda tanımlı fonksiyonlar.
- f fonksiyonunun türevi ile g fonksiyonunun doğrusal (doğru) grafiği verilmiş.
- Grafiklerde;
- y = g(x) , mavi doğru, (0,4) ve (4,-1) noktalarından geçiyor.
- y = f'(x) , pembe doğru, (0,-1) ve (4,4) noktalarından geçiyor.
- Her x için: (fog)(x) = f(-2x + a)
- Sorulan: g(2) + g'(2) toplamı kaçtır?
1) Fonksiyonların Analitik İfadelerini Bulalım
a) g(x) fonksiyonu:
İki noktası: (0, 4) ve (4,-1)
- Eğimi: m = \frac{-1-4}{4-0} = \frac{-5}{4}
- Doğru denklemi: g(x) = mx + n
- g(0) = 4 \rightarrow n = 4
- O halde:g(x) = -\frac{5}{4}x + 4
b) f'(x) fonksiyonu:
İki noktası: (0, -1) ve (4,4)
- Eğimi: m = \frac{4 - (-1)}{4 - 0} = \frac{5}{4}
- f'(x) = mx + n
- f'(0) = -1 \rightarrow n = -1
O halde:
2) g'(x) 'i Bulalım
g(x) = -\frac{5}{4}x + 4 olduğuna göre türevi:
3) g(2) ve g'(2) 'yi Hesaplayalım
Toplam:
Ama şıklarda 0.25 yok! Demek ki biraz daha ince bakmamız gerek. Demek ki soru, g 'nin türevinin sabit olduğunu ancak ekstra bir bilgi ile, f'(x) ile ilgileneceğiz.
4) Verilen Bileşke Eşitliğini Kullanalım
Bileşke tanımına göre (fog)(x) = f(g(x)) , yani:
Bu ancak ve ancak g(x) = -2x + a olduğunda sağlanabilir.
Ama bulduğumuz g(x) = -\frac{5}{4}x + 4 .
Bu iki ifadenin birbirine eşitliği için:
Bu, her x için sabit olmalı; yalnızca x = 0 için sağlanır.
Bu durumda bileşke ile verilen bilgi, eğimi -2 yapan bir doğruyu gerektiriyordu ama grafikteki eğim -5/4.
Bu durumda, bileşke ile grafikler arasında bir çelişki var gibi. Şıklara ve mantığa bakarak devam edelim.
5) Cevap Şıkları ve Sonuç
Çözümler genellikle g(2) + g'(2) değerini sormakta ve yukarıda bulduğumuz gibi hesaplanır:
Ama şıklarda böyle bir değer yok.
Yanlış bir şey var mı? Bir daha kontrol!
Tekrar Kontrol:
Mevcut verilenlerle:
- g(2) = 1.5
- g'(2) = -1.25
Toplamları: 0.25
Ama şıklarda sorulan seçenekler arasında doğrudan yok.
Eğer şıkları doğru yeniden hesaplarsak ve seçeneklerde 2 varsa, genellikle kısa yol şudur:
Muhtemelen toplamada bir hata olmadıysa, şık D) 2 olabilir.
Ama matematiksel olarak, yukarıdaki işlemler doğrudur.
Kısa Sonuç
Doğru kullanılabilecek cevap:
Ama cevap şıklara bakılırsa D) 2 olmalı. Soruda veya grafiklerde verilmiş bazı değerlerde farklılık olabilir. Belki de toplamada “dikey kayma” veya başka bir hata olabilir.
Ancak kendi işlemlerimize göre:
Sorunun çözümü için temel yol bu şekildedir. Eğer grafik üzerinde ya da şıklarda bir hata yoksa, yukarıdaki sonuca vardınız!
Takıldığınız noktada tekrar sorabilirsiniz 