Türev16

YKS TYT
1

image
image657×557 34.6 KB

2

y = \sqrt{x} + x olduğuna göre, \frac{dy}{dx} aşağıdakilerden hangisidir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • \frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1}
  • Kök ifadeyi üs şeklinde yazarsak: \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu yazılışını değiştir
y = \sqrt{x} + x = x^{\frac{1}{2}} + x

Adım 2 — Türev al

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{1}{2}}\right) + \frac{d}{dx} (x)
= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 1

Adım 3 — Türev sonucunu kök cinsinden yaz

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 1

Adım 4 — Seçeneklerle karşılaştır
Verilen seçenekler arasında bu ifade D şıkkında bulunmaktadır:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı — \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 1

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

y = √x + x olduğuna göre, dy/dx aşağıdakilerden hangisidir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Türev alma kurallarının lineerlik özelliği ve güç kuralı:

\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Problemin kurulumu

Fonksiyon:

y=\sqrt{x}+x

Adım 2 — Her terimin türevini ayrı ayrı hesapla

Birinci terim: \sqrt{x} ifadesini x^{1/2} şeklinde yaz.

\sqrt{x}=x^{1/2}
\frac{d}{dx}x^{1/2}
= \frac{1}{2}x^{1/2-1}
= \frac{1}{2}x^{-1/2}
= \frac{1}{2\sqrt{x}}

İkinci terim: x

\frac{d}{dx}x
=1

Adım 3 — Toplam türevi elde et

Sol taraf:

\frac{dy}{dx}

Sağ taraf (terimleri topla):

\frac{dy}{dx}= \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Güç kuralı

  • Tanım: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}
  • Bu problemde: \sqrt{x}=x^{1/2} için n=1/2 uygulandı.

2. Lineerlik

  • Tanım: Türev alma toplama işlemi üzerinde dağılır: (f+g)'=f'+g'
  • Bu problemde: \sqrt{x} ve x ayrı ayrı türevlenip toplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hata: \frac{d}{dx}\sqrt{x} yerine \frac{1}{\sqrt{x}} yazmak.

  • Yanlış: \frac{1}{\sqrt{x}}
  • Doğru: \frac{1}{2\sqrt{x}}
  • Neden yanlış: Güç kuralı uygulanmazsa katsayı eksik kalır.
  • Düzeltme: \sqrt{x}=x^{1/2} olarak alıp \frac{1}{2}x^{-1/2} hesaplanmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1 (Doğru seçenek: D)