Türev15

YKS TYT
1

image
image618×516 53.9 KB

2

f(x) = ax^a + bx^b biçimindeki fonksiyon için f''(1) değeri nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Türevin kuvvet kuralı: \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
  • Toplamın türevi: (u+v)' = u' + v'

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun birinci türevini bulun

f(x) = a x^a + b x^b
f'(x) = a \cdot a x^{a-1} + b \cdot b x^{b-1} = a^2 x^{a-1} + b^2 x^{b-1}

Adım 2 — Fonksiyonun ikinci türevini bulun

f''(x) = \frac{d}{dx} \left( a^2 x^{a-1} + b^2 x^{b-1} \right) = a^2 (a-1) x^{a-2} + b^2 (b-1) x^{b-2}

Adım 3 — Verilenler ile denklemler kurun

Verilenler:

f(1) = a \cdot 1^{a} + b \cdot 1^{b} = a + b = 6
f'(1) = a^2 \cdot 1^{a-1} + b^2 \cdot 1^{b-1} = a^2 + b^2 = 20

Adım 4 — a ve b için denklemi çözün

Birinci denklem:

a + b = 6

İkinci denklem:

a^2 + b^2 = 20

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 36

Buradan:

20 + 2ab = 36 \implies 2ab = 16 \implies ab = 8

Adım 5 — f''(1) değerini bulun

f''(1) = a^2 (a-1) + b^2 (b-1) = a^3 - a^2 + b^3 - b^2

Bu ifadeyi parçalayalım:

a^3 + b^3 - (a^2 + b^2)

Bilinenler:

  • a^2 + b^2 = 20
  • a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab (a + b) = 6^3 - 3 \times 8 \times 6 = 216 - 144 = 72

O halde:

f''(1) = 72 - 20 = 52

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 52
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

a ve b gerçek sayılar olmak üzere, pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu f(x) = a x^a + b x^b biçiminde tanımlanıyor. f(1) = 6, f’(1) = 20 olduğuna göre, f’'(1) kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Türev kuralı: \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}
  • Kare açılımı: (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
  • Küp toplamı kimliği: a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(1) ifadesinden a+b’yi bulun

f(1)

= a\cdot 1^a + b\cdot 1^b

= a + b

= 6

Adım 2 — f’(x) türemini yaz ve f’(1) ifadesinden a^2 + b^2’yi bulun

f’(x)

= türev al: a\cdot x^a terimi için a\cdot a x^{a-1} ve b\cdot x^b terimi için b\cdot b x^{b-1}

= a^2 x^{a-1} + b^2 x^{b-1}

f’(1)

= a^2\cdot 1^{a-1} + b^2\cdot 1^{b-1}

= a^2 + b^2

= 20

Adım 3 — ab’yi bulun (kare açılımı kullanarak)

(a+b)^2

= a^2 + b^2 + 2ab

Yerine koy:

6^2

= 20 + 2ab

36

= 20 + 2ab

2ab

= 16

ab

= 8

Adım 4 — a^3 + b^3’ü bulun (küp toplamı kimliği ile)

a^3 + b^3

= (a+b)^3 - 3ab(a+b)

= 6^3 - 3\cdot 8 \cdot 6

= 216 - 144

= 72

Adım 5 — f’'(1) ifadesini yaz ve hesapla

f’'(x)

= a^2(a-1) x^{a-2} + b^2(b-1) x^{b-2}

f’'(1)

= a^2(a-1) + b^2(b-1)

= (a^3 - a^2) + (b^3 - b^2)

= (a^3 + b^3) - (a^2 + b^2)

Yerine koy:

f’'(1)

= 72 - 20

= 52

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 52 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını veren limit temelli işlem.
  • Bu problemde: Üstel biçimde verilen terimlerin türevinde üs ve katsayı ilişkisi kullanıldı.
  1. kare ve küp kimlikleri
  • Tanım: Toplamların karesi ve küpü ile ilgili cebirsel kimlikler.
  • Bu problemde: a+b ve a^2+b^2’den ab ve a^3+b^3 hesaplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üs ile katsayının karıştırılması

  • Yanlış: \dfrac{d}{dx}(a x^a) = a x^{a-1}
  • Doğru: \dfrac{d}{dx}(a x^a) = a\cdot a x^{a-1} = a^2 x^{a-1}
  • Neden yanlış: Katsayı dışarıda kalır ama üs türevinde ayrıca çarpan olur.
  • Düzeltme: Katsayıyı koruyup içindeki x^a’nın türeviden sonra katsayıyla çarpılacağını unutmayın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?