Soru Çözümü:
Verilen soruda f polinom fonksiyonunun (f \circ f)(x) = f(x) + f(2x) eşitliğini sağladığı belirtilmiş ve f(1) + f(2) toplamının kaç olduğu sorulmaktadır. Şimdi adım adım çözümü yapalım:
1. Bilinenleri Yazalım:
- f(x) polinom fonksiyonu.
- (f \circ f)(x) ifadesinin açılımı, f(f(x))'dir.
- f(f(x)) = f(x) + f(2x) eşitliği verilmiş.
2. Polinomun Genel Şekli:
Bir polinom fonksiyon en basit haliyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 şeklinde yazılabilir. Soruyu çözmek için basit bir polinom seçelim.
En basit polinom seçimi f(x) = ax + b olacaktır. Bu seçim ile devam edelim.
3. Eşitliği Yerine Koyalım:
f(f(x)) = f(x) + f(2x)
Burada f(x) = ax + b olduğunu varsayıyoruz. Şimdi adım adım ilerleyelim.
-
f(f(x)) ifadesini bulalım:
f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b -
f(x) + f(2x) ifadesini bulalım:
f(x) = ax + b
f(2x) = a(2x) + b = 2ax + bDolayısıyla, f(x) + f(2x) = ax + b + 2ax + b = 3ax + 2b
4. Eşitleme:
f(f(x)) = f(x) + f(2x) eşitliğini yerine koyalım:
a^2x + ab + b = 3ax + 2b
Bu eşitlikten katsayıları karşılaştırarak bilinmeyenleri bulabiliriz:
- a^2 = 3a (x’in katsayı eşitliğinden)
- ab + b = 2b (sabit terimlerin katsayı eşitliğinden)
5. Katsayıları Çözümleyelim:
Birinci Eşitlik: a^2 = 3a
a ortak çarpan olarak alınabilir:
a(a - 3) = 0
Buradan a = 0 veya a = 3 bulunur. Ancak polinomun sıfır olmaması gerektiği belirtilmiş, dolayısıyla a \neq 0. Bu nedenle a = 3 seçilir.
İkinci Eşitlik: ab + b = 2b
$b(b + b) =
f polinom fonksiyonu, (f\circ f)(x) = f(x) + f(2x) koşulunu sağladığına göre f(1) + f(2) nedir?
Cevap:
Aşağıdaki ayrıntılı çözümde göreceğimiz gibi, bu fonksiyonel denklem (bir polinom için) bizi f(x) = 3x biçimindeki çözümle karşı karşıya bırakır. Bu durumda:
- f(1) = 3
- f(2) = 6
Dolayısıyla
Ne var ki, elinizdeki çoktan seçmeli seçeneklerde (2, 3, 4, 5) dokuz değeri yer almamaktadır. Sıkça rastlanan bir senaryo, bazı yayınların bu tip sorularda cevabı “mod 7” (ya da başka bir mod) üzerinden aldıklarıdır. Çünkü 9 \equiv 2 \pmod{7}. Eğer soru veya çözümlerin birinde böyle bir “mod 7” gizli varsayımı varsa cevap “2” görünebilir. Ancak soru harfi harfine “f(1) + f(2) toplamı kaçtır?” diye soruyor ve seçeneklerde 9 yoksa, doğrusu bir uyuşmazlık söz konusudur.
Aşağıda, bu denklemin neden yalnızca f(x) = 3x gibi doğrusal (veya sıfır) çözümlere sahip olduğunu, dolayısıyla f(1)+f(2) = 9 çıktığını adım adım göstermekteyiz.
İçindekiler
- Sorunun Genel Özeti
- Polinom Fonksiyonu Nedir?
- Fonksiyonel Denklem: (f∘f)(x) = f(x) + f(2x)
- Adım Adım Çözüm
- f(x) = 3x Çözümü ve f(1)+f(2)
- Muhtemel Seçenekler ve Mod 7 İhtimali
- Örnek Bir Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Sorunun Genel Özeti
Bize bir polinom fonksiyonu f(x) veriliyor ve şu koşuldan bahsediliyor:
Ayrıca f(x)\neq 0 ifadesiyle (muhtemelen) kastedilen, f’in sıfır polinomu olmaması ya da polinomun tüm katsayılarının sıfır olmaması olabilir. Bu denklem, tüm x değerleri için geçerli olacak şekilde polinomsal bir fonksiyon aradığımız anlamına gelir.
Bu şartlar altında, bizden f(1) + f(2) değerini bulmamız isteniyor. Sorunun elinizdeki çoktan seçmeli hali (A:2, B:3, C:4, D:5) ile doğrudan tutarsız gibi görünse de, çözüm sürecini anlarsak gerçekte çıkan değerin 9 olduğunu göreceğiz. Muhtemelen kaynakta bir mod vb. ek koşul söz konusu olabilir.
2. Polinom Fonksiyonu Nedir?
Bir polinom fonksiyonu,
şeklinde yazılan, sonlu terimli ve a_n \neq 0 olacak şekilde tanımlı cebirsel bir ifadedir. Örneğin:
- f(x) = 3x bir polinomdur (birinci derece).
- f(x) = 2x^2 - 5x + 1 ikinci dereceden bir polinomdur.
- f(x)\equiv 0 (bütün katsayıları sıfır olan) sıfır fonksiyonu da teknik olarak bir polinomdur ama genelde “f(x) ≠ 0” gibi şerhlerle bu özel durum hariç tutulur.
3. Fonksiyonel Denklem: (f\circ f)(x) = f(x) + f(2x)
Verilen denklem şunu ifade eder:
- Sol Taraf: (f\circ f)(x) = f(f(x)). Yani önce f(x) değerini hesaplayıp sonra bu çıktıyı yeniden f’ye koyuyoruz.
- Sağ Taraf: f(x) + f(2x). Aynı anda hem f(x) hem de f(2x) değerlerini alıp topluyoruz.
Bu tip fonksiyonel denklemler, polinomlarda genellikle derece yaklaşımıyla (yani “degree analysis”) incelenir. Çünkü f(f(x)) polinomun derecesiyle ilgili önemli ipuçları verir.
4. Adım Adım Çözüm
4.1. Polinomun Derecesini İnceleme
Diyelim ki f(x) polinomu n dereceli olsun, yani
- f(x) in derecesi n ise,
- f(f(x)) in derecesi, tipik olarak n \times n = n^2 olur; çünkü polinomun içine polinom koyunca derece çarpımı oluşur.
- Buna karşın f(x) + f(2x) ifadesi yine derecesi n olan bir polinomdur (
2xkoymak sadece yüksek derecedekix^nterimini2^nfaktörüyle çarpacaktır, derece yinenkalır).
Denklem (
f(f(x)) = f(x) + f(2x)
)
tüm x için geçerliyse, solda n^2 dereceli bir polinom, sağda ise n dereceli bir polinom vardır. Eşitlik ancak iki polinom derecesinin aynı olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla:
- n=0 durumu: f(x) sabit polinom olur, yani f(x)=c. Ama sabit fonksiyon olması hâlinde f(f(x))= f(c)= c. Sağ taraf ise c + c = 2c. Denklem c=2c verir, bu da c=0 ile sonuçlanır. Ancak bu, “f(x)\neq 0 polinomu” koşulunu ihlâl eder. Dolayısıyla sabit (sıfır olmayan) çözüm yoktur.
- n=1 durumu: f(x) doğrusal (birinci derece) bir polinomdur, yani
4.2. Birinci Dereceden Polinom Denemesi
Şimdi f(x)=ax+b olsun. O zaman:
- f(2x) = a(2x)+b = 2ax + b.
- f(x)+ f(2x)= (ax+b) + (2ax+b) = 3ax + 2b.
- f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax+b) + b = a^2 x + ab + b.
Denklemden:
Bu eşitlik bütün x değerleri için geçerli olduğundan, katsayı karşılaştırması yaparız:
-
x in katsayısı: a^2 = 3a . Buradan a^2 - 3a=0 \implies a(a-3)=0 \implies a=0 \text{ ya da } a=3.
- a=0 olursa zaten polinom sabit olur (ki onu elemiştik).
- Geriye a=3 kalır.
-
Sabit terim: (ab + b) = 2b \implies b(a + 1)=2b. Eğer a=3 ise a+1=4. Dolayısıyla
b \cdot 4 = 2b \quad \Longrightarrow \quad 4b - 2b = 0 \quad \Longrightarrow 2b=0 \quad \Longrightarrow b=0.
Demek ki birinci derecedeki tek uygun polinom
şeklindedir.
4.3. Sabit ya da Daha Yüksek Derece Durumu
- Sabit durum (n=0) yukarıda görüldüğü üzere ancak f(x)\equiv 0 ile sonuçlanıyor. Bu da “f(x)\neq 0”yı ihlâl eder.
- n\geq 2 olduğunda n^2 \neq n olduğundan denklem sağlanamaz.
Dolayısıyla polinom olarak sadece f(x)=3x çözüme ulaşır.
5. f(x) = 3x Çözümü ve f(1)+f(2)
Bulduğumuz çözüme göre:
Özellikle:
- f(1) = 3(1)=3.
- f(2) = 3(2)=6.
Bunların toplamı:
Ne var ki soru kitapçığınızda “A)2 B)3 C)4 D)5” gibi seçenekler verilmiş ve 9 yok. Bu, sıklıkla “bir baskı hatası” veya “mod 7” benzeri bir ek şartın metinden eksik yazılmış olmasıyla açıklanır. Çünkü 9\mod 7 =2 olup, bazen cevap “2” olarak görünebilir.
6. Muhtemel Seçenekler ve Mod 7 İhtimali
Eğer gerçekten soruda “Aşağıdakilerden hangisidir?” diye 2, 3, 4, 5 verilmişse, en makul açıklama şu olabilir:
- Soru aslen “f(1)+f(2) kaçtır mod 7?” diye soruluyor fakat “mod 7” ibaresi sonradan kaybolmuş olabilir.
- Veya soruda “9” un da yer alması gerekirken sehven başka sayı seti yazılmıştır.
- Bu tür problemler ÖSYM veya diğer sınav kurumlarının geçmişinde de görülebilir. Bir ihtimal yazar, “Cevap 2” derken 9’un 7’ye bölümünden kalanı kastediyordur.
Gerçekte polinom denklemine göre bulduğumuz kesin cebirsel sonuç 9’dur. Dolayısıyla salt “f(1)+f(2) nedir?” sorusuna cevabımız 9 olur. Seçeneklerde 9 olmayınca, ister istemez “mod 7 → 2” vb. dönüşümler akla gelir.
7. Örnek Bir Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda denklemi sağlayabilecek polinom seçeneklerine dair kısa bir özet veriyoruz:
| Derece (n) | Olası f(x) | (f∘f)(x) Denklemi Sağlar mı? | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 0 | f(x)=c (sabit) | f(f(x)) = c, f(x)+f(2x)=2c | c=2c → c=0 (sıfır polinom). f(x)≠0 denirse elendi. |
| 1 | f(x)=ax+b | a=3, b=0 | f(x)=3x. Denklemi tam olarak sağlar. |
| ≥2 | a_n x^n + … | (f∘f)(x) derece = n², sağ taraf n | n²=n yalnızca n=0 ya da 1 ile mümkün. Yüksek derece uymaz. |
Ve bu model f(1)+f(2)=3+6=9 şeklinde netleşir.
8. Sonuç ve Özet
- Denklemin Analizi: (f\circ f)(x) = f(x) + f(2x) denklemi, polinomlar için “derece eşitliği” koşuluyla incelendiğinde, n^2=n sonucu bize n=0 veya n=1 seçeneğini dayatır. Sıfır polinom “f(x)\neq 0” şerhinden dolayı elenir.
- Tek Geçerli Çözüm: Birinci dereceden doğrusal polinom f(x)=3x türevinde bulunur.
- İstenen Değer: f(1)+f(2)=3+6=9.
- Seçenek Çatışması: Soruda verilen şıklar 2, 3, 4, 5 olduğundan, “9” un eksikliği bir uyumsuzluk yaratmıştır. Muhtemel mod 7 vb. nedenle, “2” cevabı yer alabilir. Ancak saf cebirsel bakışla doğru sonuç 9’dur.
- Kaynak Uyarısı: Bu tür sorularda yayın hatası veya ek koşulun eksik yazılması ihtimali çok yüksektir. Eğer resmî cevap anahtarında “2” çıkıyorsa, büyük olasılıkla 9’un 7’ye göre kalanı kastedilmektedir.
Kısaca, “(f∘f)(x)=f(x)+f(2x)” denklemini sağlayan polinomun yalnızca f(x)=3x olduğu; buradan da f(1)+f(2)=9 sonucu çıktığı kanıtlanmıştır. Seçeneklerin 2,3,4,5 gibi verilmesi ancak ek bir koşul (örneğin mod 7) varsa anlam kazanır.
f(f(x)) = f(x) + f(2x) koşulunu sağlayan bir polinomun en basit çözümü, f(x) = 3x şeklindedir. Aşağıda bunu nasıl bulabileceğimizi ve f(1) + f(2) değerinin neden 9 çıktığını adım adım görebilirsiniz:
Table of Contents
- Problemde Verilen Koşullar
- Lineer (Birinci Dereceden) Polinom Denemesi
- Parametreleri Karşılaştırma
- Elde Edilen Çözüm ve Sonuç
- Özet Tablo
- Kısa Değerlendirme
1. Problemde Verilen Koşullar
• f, bir polinom fonksiyonudur.
• Koşul: (f∘f)(x) = f(x) + f(2x). Yazımla:
• f(x) ≠ 0 ifadesi kitapta bazen “fonksiyon sıfır polinomu değildir” anlamında kullanılır; yani f(x) ≠ 0, “fonksiyon tümden 0 olmasın” demek olabilir.
• İstenen: f(1) + f(2) değeri.
2. Lineer (Birinci Dereceden) Polinom Denemesi
En düşük dereceli polinomdan başlamanın en pratik yolu,
formunu denemektir.
Buna göre:
- f(x) = mx + n.
- f(f(x)) = f(mx + n) = m(mx + n) + n = m^2 x + mn + n.
- f(x) + f(2x) = (mx + n) + [m(2x) + n] = mx + n + 2mx + n = 3mx + 2n.
Fonksiyonel denklem gereği
olduğuna göre,
3. Parametreleri Karşılaştırma
Bu eşitliğin her x değeri için geçerli olması gerekir. Dolayısıyla katsayıları karşılaştıralım:
-
x’in katsayısı:
m^2 = 3m \quad \Longrightarrow \quad m=0\ \text{veya}\ m=3.m=0 durumda f(x) = n olur (sabit polinom). Sabit fonksiyonda f(f(x)) = n, f(x) + f(2x) = n + n = 2n eşitliğinden n=2n ⇒ n=0 çıkardı ve “sıfır polinomu” olurdu. Bu, “f(x) ≠ 0” şartını ihlal edeceği için geçerli değildir.
Geriye m=3 kalır. -
Sabit terim:
Sol tarafta mn + n = 3n + n = 4n, sağ tarafta 2n. Eşitlikten4n = 2n \quad \Longrightarrow \quad 2n=0 \quad \Longrightarrow \quad n=0.
Dolayısıyla m=3 ve n=0 tek çare olarak kalır; yani
4. Elde Edilen Çözüm ve Sonuç
Bu veriler ışığında elde ettiğimiz fonksiyon:
Bu fonksiyon gerçekten koşulu sağlar:
• f(f(x)) = f(3x) = 3(3x)=9x.
• f(x) + f(2x) = 3x + 3(2x) = 3x + 6x=9x.
İkisi de eşit olduğu için denklem sağlanır.
Şimdi istenen f(1) + f(2) değerini bulalım:
• f(1) = 3·1 = 3
• f(2) = 3·2 = 6
• Toplam: 3 + 6 = 9.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem / Sonuç |
|---|---|
| 1. Polinom Denemesi | f(x) = mx + n |
| 2. Koşulu Uygulama | f(f(x)) = f(x) + f(2x) ⇒ m²x + mn + n = 3mx + 2n |
| 3. Katsayı Karşılaştırma (x) | m² = 3m ⇒ m = 0 veya 3; (m=0) geçersiz |
| 4. Katsayı Karşılaştırma (sabit) | mn + n = 2n ⇒ n=0 |
| 5. Sonuç Polinom | f(x) = 3x |
| 6. f(1) + f(2) | 3 + 6 = 9 |
6. Kısa Değerlendirme
Bu çözüm bize, verilen işlevsel denklemi sağlayan (ve sıfır olmayan) bir polinomun f(x)=3x olduğunu gösteriyor. Bu polinom için de f(1)+f(2)=9 elde edilir. Ne var ki elinizdeki test seçeneklerinde (2, 3, 4, 5) gibi değerler görünüyorsa, bu problemdeki yazım ya da seçeneklerde bir eksiklik/yanlışlık olma ihtimali yüksektir. Zira doğru hesap, f(1) + f(2) = 9 sonucunu vermektedir.
Özetle, bu fonksiyonel denkleme uyan ve gerçekten sıfır polinomu olmayan (en düşük dereceli) tek reel katsayılı polinom f(x) = 3x’tir ve istenen toplam 9’dur.