B)
sayisı l. tüpten alınan bakteri sayisinin en az kaç katidır?
Bir saatin sonunda 1. tüpteki bakterinin yarıst, II. tüpteki bakterinin’i alındiğına göre ll. tüpten alinan bakter
L tüpteki bakteri sayisı 4 katına, Il. tüpteki bakteri sayısı 8 katina çıkiyor.
Laboratuvar ortamindaki boş iki farklı deney tüpünden birine 2, diğerine 8 tane bakteri yerleştirilyor. Bir saat sonunda
3. m, n birer tam sayı ve a #O olmak Ozere aa"*m, (a’" am ve
Deney Tüplerindeki Bakteri Sayısı Oranı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üslü ifadenin üssü: (a^n)^m = a^{n \cdot m}
- Üslü sayılarda çarpma: a^n \cdot a^m = a^{n+m}
- Üslü sayılarda bölme: \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıçtaki Bakteri Sayılarını Aynı Tabanda İfade Etme
Tüplere konulan bakteri sayıları 2^9 ve 8^4 olarak verilmiştir. 8^4 sayısını 2 tabanında yazalım:
8^4 = (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}
Bakteri sayıları: 2^9 ve 2^{12}'dir.
Adım 2 — Tüplerdeki Değişim Katsayılarını Belirleme
-
I. Tüp için: Bakteri sayısı 4 katına (2^2) çıkıp ardından yarısı (\frac{1}{2} = 2^{-1}) alınıyor:
\text{I. tüpten alınan miktar} = \text{Başlangıç}_I \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \text{Başlangıç}_I \cdot 2^2 \cdot 2^{-1} = \text{Başlangıç}_I \cdot 2^1 -
II. Tüp için: Bakteri sayısı 8 katına (2^3) çıkıp ardından \frac{1}{4}'i (\frac{1}{4} = 2^{-2}) alınıyor:
\text{II. tüpten alınan miktar} = \text{Başlangıç}_{II} \cdot 8 \cdot \frac{1}{4} = \text{Başlangıç}_{II} \cdot 2^3 \cdot 2^{-2} = \text{Başlangıç}_{II} \cdot 2^1
Her iki tüpten alınan bakteri miktarı da o tüpün başlangıçtaki miktarının 2 katıdır.
Adım 3 — Oranın “En Az” Değerini Bulma
Bizden istenen oran:
\text{Oran} = \frac{\text{II. tüpten alınan}}{\text{I. tüpten alınan}} = \frac{\text{Başlangıç}_{II} \cdot 2}{\text{Başlangıç}_I \cdot 2} = \frac{\text{Başlangıç}_{II}}{\text{Başlangıç}_I}
Bu oranın en az olması için payın (\text{Başlangıç}_{II}) en küçük, paydanın (\text{Başlangıç}_I) en büyük seçilmesi gerekir:
- \text{Başlangıç}_{II} = 2^9
- \text{Başlangıç}_I = 2^{12}
Değerleri yerine yazalım:
\text{Oran} = \frac{2^9}{2^{12}} = 2^{9 - 12} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslü Sayılarda Taban Eşitleme: Tabanları aynı yaparak (2 tabanında) üs kurallarını doğrudan ve hatasız uygulayabiliriz.
- Oranın En Küçük Değeri: Bir kesrin değerini en aza indirmek için payı en küçük, paydayı en büyük seçmeliyiz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Tüplerin başlangıç değerlerini rastgele eşleştirmek ve 2^{12} / 2^9 = 8 bularak şıklarda aramak veya oranın en az şartını gözden kaçırmak.- Doğru Mantık: Sorudaki “en az” ifadesine dikkat ederek payı minimum (2^9), paydayı maksimum (2^{12}) seçmek.
Üslü sayılarla ilgili benzer bir LGS/bursluluk tarzı soru çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?