Tüm sınıf öğrencileri arasından rastgele seçilecek bir öğrencinin kız olma olasılığı nedir?

YKS TYT
1

image
image720×540 29.9 KB

2

Resimli Soru 06-01-2026 20:18:46: Sınıfın Kız Öğrenci Olma Olasılığı

Önemli Noktalar

  • Öğrenciler 3 gruba eşit sayıda bölünmüştür
    1. ve 2. gruptan seçilen öğrenci erkek olma olasılığı sırasıyla 2/3 ve 1/3
    1. gruptan seçilen öğrenci kız olma olasılığı 1/2
  • Tüm sınıftan rastgele seçilen öğrencinin kız olma olasılığı hesaplanacak

Toplam öğrenci sayısı 3 gruba eşit sayıldığı için her grubun payı 1/3’tür. Her grubun kız öğrencisi olma olasılığı şöyle bulunur:

  1. Grup: Erkek olma olasılığı 2/3 ise kız olma olasılığı 1 - 2/3 = 1/3
  2. Grup: Erkek olma olasılığı 1/3 ise kız olma olasılığı 1 - 1/3 = 2/3
  3. Grup: Kız olma olasılığı 1/2 (verilmiş)

Şimdi toplam sınıftan seçilen öğrencinin kız olma olasılığı:

P(kiz) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}

Burada paydaları eşitleyelim:

  • \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
  • \frac{1}{6} = \frac{3}{18}

\frac{1}{3} = \frac{6}{18}

Toplam:

P(kiz) = \frac{6}{18} + \frac{3}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}

Ama seçeneklerde 1/2 yok. Hesaplama sırasında hata fark edilmelidir.

Düzeltme: Son terimi hesaplarken paydadaki eşitliği kontrol edelim.

\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{6}{18} \\ \ \frac{1}{6} = \frac{3}{18}

Toplam:

\frac{6}{18} + \frac{3}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}

Seçeneklerde yoksa soruda veri tekrar kontrol edilmeli.

Fakat verilen seçeneklerde en yakın olan C) 5/9, B) 7/18 ve D) 11/18’dir.

Alternatif çözüm:

Eğer grup öğrenci sayıları eşitse:

Kız olma olasılığı (Tüm sınıf):

P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}

Sadelestirme:

= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6} = \frac{3}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Bu hesap doğrudur.

Seçeneklerde 1/2 yok.

Sonuç: Soruda verilen seçenekler eksik veya yanlıştır. Ancak hesaplamaya göre doğru cevabın 1/2 olması gerekir.

Sonuç:

Tüm sınıftan rastgele seçilen öğrencinin kız olma olasılığı 1/2 (0.5)'dir.

Sonraki Adımlar

Bu ihtimali nasıl aynı zamanda toplam olasılık kuralı ile genel olarak hesaplayabileceğimizi anlatmamı ister misiniz?

@Zeynep_Kokcay1

3

Tüm sınıf öğrencileri arasından rastgele seçilecek bir öğrencinin kız olma olasılığı nedir?

Önemli Çıkarımlar:

  • Eşit sayıda öğrenciden oluşan 3 grup var.
  • Grup 1’de erkek olma olasılığı \tfrac{1}{2}, Grup 2’de \tfrac{1}{3}, Grup 3’te kız olma olasılığı \tfrac{1}{2}.
  • Genel kız olasılığı, her bir grubun kız olasılığının eşit ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur.

Doğru cevap: 5/9 (C şıkkı)

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Her grup eşit sayıda öğrenci içerdiğinden, genel olasılık her grubun olasılığının basit ortalamasıdır.
  2. Grup 1’de kız olasılığı
    $$P_{G1}(K)=1 - P_{G1}(E)=1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
  3. Grup 2’de kız olasılığı
    $$P_{G2}(K)=1 - P_{G2}(E)=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$
  4. Grup 3’te kız olasılığı doğrudan
    $$P_{G3}(K)=\frac{1}{2}.$$
  5. Toplam kız olasılığı
    P(K)=\frac{P_{G1}(K)+P_{G2}(K)+P_{G3}(K)}{3} =\frac{\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2}}{3} =\frac{\tfrac{5}{3}}{3} =\frac{5}{9}.

Karşılaştırma Tablosu

Konsept Erkek Olasılığı Kız Olasılığı
Grup 1 \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{2}
Grup 2 \tfrac{1}{3} \tfrac{2}{3}
Grup 3 \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{2}
Genel \tfrac{4}{9} \tfrac{5}{9}

Özet Tablosu

Grup Kız Olasılığı Erkek Olasılığı
1 \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{2}
2 \tfrac{2}{3} \tfrac{1}{3}
3 \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{2}
Toplam \tfrac{5}{9} \tfrac{4}{9}

SSS

Q1: Eşit olmayan öğrenci sayılarına sahip gruplarda toplam kız olasılığı nasıl bulunur?
A1: Ağırlıklı ortalama alınır; her grubun öğrenci sayısı oranı, o grubun kız olasılığı ile çarpılır ve sonuçlar toplanır (Toplam Olasılık Kuralı).

Q2: Toplam Olasılık Kuralı nedir?
A2: Bir evren, birbirini dışlayan alt olaylara ayrıldığında, bir olayın olasılığı bu alt olayların olasılıklarının kendi koşul olasılıklarıyla ağırlıklı toplamıdır.

Q3: Grup içi erkek veya kız olasılığı verilince diğer cinsin olasılığı nasıl bulunur?
A3: İkili durumlarda toplam olasılık 1 olduğundan, diğerinin olasılığı 1 - P(\text{verilen}) formülüyle hesaplanır.

Bu problemi farklı grup büyüklükleri için de adım adım hesaplamak ister misiniz?
@Zeynep_Kokcay1