Tufhfhfh

YKS TYT
1

image
image720×960 38.2 KB

2

:pushpin: SORU: Dikdörtgen kağıdın başlangıçtaki yatay uzunluğu kaç birimdir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kesilen ve kalan kısımların oranları,
  • Logaritma işlemlerinin temel özellikleri,
  • Uzunluk hesapları.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kağıdın ilk ve ikinci durumu

  • İlk haliyle kağıt, yatay uzunluğu x birim olan bir dikdörtgendir.
  • Kırmızı çizgi ile kağıt iki eş dikdörtgene ayrılmıştır, yani her birinin uzunluğu \frac{x}{2} .

Adım 2 — \frac{1}{3} kısmın kesilmesi

  • Sağdan \frac{1}{3} kısmı kesilerek atılıyor, geriye \frac{2}{3} x kalıyor.
  • Bu kalan parça mavi çizgi ile 2 eş dikdörtgene ayrılmış.

Adım 3 — Mavi ve kırmızı çizgilerin konumları

  • Kırmızı çizgi başlangıçta kağıdın ortası, yani \frac{x}{2} noktasında,
  • Mavi çizgi, kalan kısmı iki eş parçaya bölmek için, kalan kağıdın ortasında, yani
    \frac{2}{3}x uzunluğu boyunca \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x konumunda.

Adım 4 — Kırmızı ve mavi çizgi arasındaki mesafe

  • Kırmızı çizgi \frac{x}{2} 'de, mavi çizgi x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x uzunluğundaki kalan kısmın ortasında.
  • Ancak burada mavi çizgi, sağ taraftan kesilen kısmı attıktan sonra kalan kağıdın ortasıdır.
  • Kırmızı çizgi ile mavi çizgi arasındaki mesafe:
\left| \frac{x}{2} - \frac{1}{3}x \right| = \left| \frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} \right| = \frac{x}{6}

Adım 5 — Soruda verilen mesafe eşitliği

  • Kırmızı ile mavi çizgi arasındaki mesafe (1 - \log 5) birim olarak verilmiş.
  • Yani:
\frac{x}{6} = 1 - \log 5

Adım 6 — x değerini bulma

  • x = 6 (1 - \log 5)

Adım 7 — Seçeneklerin logaritma ifadeleriyle uyumu

  • Logaritma kuralları ile yazalım:
x = 6 - 6 \log 5

Burada akla gelen logaritma tabanını 10 olarak kabul edersek, soruda direkt logaritmanın ne olduğu belirtilmemiş ama seçenekler \log 16, \log 32, \log 40, \log 56, \log 64 olduğu için logaritmanın tabanı 10’dur ve \log a - \log b = \log \frac{a}{b} kuralını kullanabiliriz.

1 - \log 5 = \log 10 - \log 5 = \log \frac{10}{5} = \log 2

Yani 1 - \log 5 = \log 2 .

Öyleyse:

\frac{x}{6} = \log 2 \Rightarrow x = 6 \log 2

Adım 8 — x = 6 \log 2 ifadesini seçeneklerle karşılaştırma

\log 16 = \log 2^{4} = 4 \log 2
\log 32 = \log 2^{5} = 5 \log 2
\log 40 = \log (8 \times 5) = \log 8 + \log 5 = 3 \log 2 + \log 5
\log 56 = \log (7 \times 8) = \log 7 + 3 \log 2
\log 64 = \log 2^{6} = 6 \log 2

Bu değerlerden 6 \log 2 = \log 64 eşleşir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) \log 64
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Başlangıçtaki dikdörtgenin yatay uzunluğu kaç birimdir? (Kırmızı ile mavi çizgi arasındaki en kısa uzaklık 1-\log5 birimdir; ilk durumda kırmızı kağıdı iki eş parçaya ayırır; sağdan \tfrac{1}{3} kesilip atıldıktan sonra kalan parça mavi ile iki eş parçaya ayrılmıştır.)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Logaritma özellikleri: \log a - \log b = \log\!\left(\dfrac{a}{b}\right), c\log a = \log\!\left(a^c\right), \log 10 = 1 (base 10 varsayımıyla).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Uzunlukları ifade et
Kağıdın başlangıç yatay uzunluğunu L alalım.
Kırmızı çizgi başlangıçta kağıdın ortasında olduğundan kırmızı çizginin konumu x=\dfrac{L}{2}'dir.
Sağdan \dfrac{1}{3}L kesildiğinde kalan uzunluk L-\dfrac{1}{3}L=\dfrac{2}{3}L’dir.

Adım 2 — Mavi çizginin konumunu bul
Kalan parça iki eş dikdörtgene ayrıldığı için mavi çizgi, kalan parçanın ortasında yer alır.
Kalan parçanın solundan mavi çizginin konumu x=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}L=\dfrac{L}{3}'tür.

Adım 3 — Kırmızı ile mavi arası mesafeyi hesapla
Kırmızı ile mavi arasındaki mesafe: \left|\dfrac{L}{2}-\dfrac{L}{3}\right| = L\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right).
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}.
Böylece mesafe =\dfrac{L}{6}.

Adım 4 — Verilen eşitliği kullan ve L’yi log cinsine çevir
Verilen bilgiye göre \dfrac{L}{6}=1-\log5.
Her iki tarafı 6 ile çarparız: L=6(1-\log5)=6-6\log5.
6=\log(10^6) ve 6\log5=\log(5^6) olduğundan
L=\log(10^6)-\log(5^6)=\log\!\left(\dfrac{10^6}{5^6}\right)=\log\!\left(\left(\dfrac{10}{5}\right)^6\right)=\log(2^6)=\log64.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: log64
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Logaritma özellikleri
  • Tanım: \log a - \log b = \log\!\left(\dfrac{a}{b}\right), c\log a=\log(a^c).
  • Bu problemde: Sabit sayıyı log içinde ifade etmek için \log(10^6)=6 ve çarpımı üs olarak yazma kullanıldı.
  1. Parça-bölme ve konum hesaplama
  • Tanım: Uzunluğu bölünmüş parçaların orta noktaları konum hesaplarında kullanılır.
  • Bu problemde: Sağdan \tfrac{1}{3} atıldıktan sonra kalan parçanın ortası mavi çizgiyi verdi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış: Kalan parçanın ortasını L/2 sanmak

  • Yanlış: Mavi çizginin başlangıçtaki kağıdın ortası olduğunu kabul etmek.
  • Doğru: Mavi çizgi kalan parçanın ortasıdır, yani L/3 konumundadır.
  • Neden yanlış: Sağdan parça atıldıktan sonra ölçü sistemi değişir.
  • Düzeltme: Kalan uzunluğu hesapla (2L/3), sonra ortasını al ((2L/3)/2=L/3).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?