Trigooooo

YKS TYT
1

1000016438
1000016438720×450 22.7 KB

2

Sorunun Çözümü:

Soru No: 25

Verilen ifade:

\frac{\text{cosec}^2x - \text{cot}^2x - \cos(\pi - 2x)}{\text{cot}x}

Dönüşüm & Sağlamalar:

Trigonometrik kimlikler kullanarak çözelim:

Adım 1: \text{cosec}^2x - \text{cot}^2x ifadesi

Bilinen trigonometrik kimliklerden:

\text{cosec}^2x - \text{cot}^2x = 1

Bu ifade sadeleşir ve sadece “1” kalır.

Adım 2: \cos(\pi - 2x) ifadesi

Trigonometrinin genlik kuralına göre:

\cos(\pi - 2x) = -\cos(2x)

Dolayısıyla verilen ifade şu hale gelir:

\frac{1 - (-\cos(2x))}{\text{cot}x}

Bu da sadeleşince şuna dönüşür:

\frac{1 + \cos(2x)}{\text{cot}x}

Adım 3: \frac{1 + \cos(2x)}{\text{cot}x} düzenlemesi

\text{cot}x, \frac{\cos x}{\sin x} şeklinde yazılabilir:

\frac{1 + \cos(2x)}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{(1 + \cos(2x)) \cdot \sin x}{\cos x}

Adım 4: \cos(2x) genişletmesi

Kimlikten bilinir:

\cos(2x) = 2\cos^2x - 1

Bu genişletmeyi uygularsak ifade şu hale gelir:

\frac{(1 + (2\cos^2x - 1)) \cdot \sin x}{\cos x}

Sadeleştirme:

\frac{(2\cos^2x) \cdot \sin x}{\cos x}

Adım 5: Son düzenleme

Burada \cos x ile sadeleştirme yapılabilir:

2\cos x \sin x

Sonuç, bir trigonometrik özdeşlik olan şu hale gelir:

\sin(2x)

Nihai Sonuç:

Doğru cevap E) sin2x

Eğer başka sorularınız olursa, sormaktan çekinmeyin! :blush:

@Binnur_Bal

3

cosx ≠ 0 olmak üzere, \dfrac{\csc^2x - \cot^2x - \cos(\pi - 2x)}{\cot x} ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Answer:

Bu tür trigonometrik ifadeleri sadeleştirirken adım adım ilerlemek önemlidir. Hemen çözümleyelim:

Adım 1: Üstteki ifadeyi parçalayalım

\csc^2x - \cot^2x - \cos(\pi - 2x)

\csc^2x - \cot^2x kısmı için:

Bunlar arasında temel trigonometrik bir bağıntı vardır:

\csc^2 x - \cot^2 x = 1

Çünkü:

  • \csc^2 x = 1/\sin^2 x
  • \cot^2 x = \cos^2 x/\sin^2 x

Toplayınca:

\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = 1

Yani üstteki ifadenin ilk iki terimi 1 eder.

Şimdi \cos(\pi - 2x)'i sadeleştirelim:

\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x

Buna göre üstteki tamamı:

1 - (-\cos 2x) = 1 + \cos 2x

Adım 2: Her Şeyi Yerine Koyalım

Artık ifade şu şekle döndü:

\frac{1 + \cos 2x}{\cot x}

Adım 3: \cos 2x'i açalım ve sadeleştirelim

Hatırlayalım:

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

Yani:

1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x

Bunu üstte yerine yazalım:

\frac{2\cos^2 x}{\cot x}

Adım 4: \cot x'i düzenleyelim

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} olduğundan:

\frac{2\cos^2 x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = 2\cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2\cos x \cdot \sin x = 2\sin x \cos x

Ve biliyoruz ki 2\sin x \cos x = \sin 2x'tir. (Çift Açı Formülü)

Adım 5: Sonuç

Yani:

\frac{\csc^2x - \cot^2x - \cos(\pi - 2x)}{\cot x} = \sin 2x

Doğru Cevap: E şıkkı – sin 2x

Kısa Özetiyle Adımlar

  • \csc^2x - \cot^2x = 1
  • \cos(\pi - 2x) = -\cos 2x
  • 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x
  • Bölmeyi yapınca 2\sin x \cos x = \sin 2x

Cevap: E) sin2x :white_check_mark:

@Binnur_Bal

4

cosx ≠ 0 olmak üzere, (cosec²x − cot²x − cos(π − 2x)) / cotx ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) sec2x
B) 2sinx
C) 2cosecx
D) tan2x
E) sin2x

Answer:

Adım 1 – Temel Kimlikler

  1. Trigonometride:
    • (cosec²x – cot²x) = 1
    • cos(π – θ) = –cos(θ)
    • cotx = cosx / sinx

  2. Ayrıca cos(2x) için:
    • cos(2x) = 2cos²x – 1 (sık kullanılan bir özdeşlik)

Adım 2 – Verilen İfadeyi Yazma

Verilen ifadeyi açık biçimiyle:

\frac{\csc^2 x - \cot^2 x - \cos(\pi - 2x)}{\cot x}.

Adım 3 – Parantez İçinde Sadeleştirme

• (cosec²x – cot²x) = 1
• cos(π – 2x) = –cos(2x) (çünkü cos(π – α) = –cos α)

Dolayısıyla pay kısmı:
1 − (–cos(2x)) = 1 + cos(2x)

Bu durumda ifade:

\frac{1 + \cos(2x)}{\cot x}.

Adım 4 – cotx Yerine cosx/sinx Yazma

cotx = cosx / sinx olduğu için:

\frac{1 + \cos(2x)}{\frac{\cos x}{\sin x}} = (1 + \cos(2x)) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}.

Adım 5 – cos(2x) Genişletme ve Sadeleştirme

cos(2x) = 2cos²x – 1 özdeşliğini kullanalım:
1 + cos(2x) = 1 + (2cos²x – 1) = 2cos²x

Bu durumda ifade:

\bigl(2cos^2 x\bigr)\,\frac{\sin x}{\cos x} = 2\cos x\,\sin x.

Adım 6 – Nihai Biçim

2cosx·sinx = sin(2x) (çünkü 2sinx·cosx = sin(2x))
Yani ifadenin sadeleştirilmiş biçimi:
sin(2x).

Cevap: E) sin2x

@Binnur_Bal

5

**25. cos x ≠ 0 olmak üzere,

(cosec²x − cot²x − cos(π − 2x)) / cot x ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?**

A) sec 2x
B) 2 sin x
C) 2 cosec x
D) tan 2x
E) sin 2x

Table of Contents

  1. Problem Tanımı
  2. Temel Trigonometrik Kimlikler
    2.1. Pythagorean Kimlik
    2.2. Açı Toplamı–Farkı Kimliği
  3. İfadenin Sadeleştirilme Adımları
    3.1. Adım 1: csc²x − cot²x’nin Değeri
    3.2. Adım 2: cos(π − 2x) Kimliğinin Uygulanması
    3.3. Adım 3: Tam İfadenin Hesaplanması
  4. Alternatif Yaklaşımlar
  5. Örnek Değerlerle Kontrol
  6. Sonuç ve Özet

1. Problem Tanımı

Elimizdeki ifade

(cosec²x − cot²x − cos(π − 2x))  
────────────────────────  
         cot x

şeklindedir. Burada amaç, trigonometrik kimlikler kullanarak bu karmaşık görünüşlü ifadeyi olabildiğince basit bir formata indirgeyerek verilen seçenekler arasında hangi sonucun elde edildiğini bulmaktır.

2. Temel Trigonometrik Kimlikler

Sadeleştirmede kullanacağımız başlıca trigonometrik özdeşlikleri hatırlayalım.

2.1. Pythagorean Kimlik

  • 1 + cot²x = csc²x
  • Dolayısıyla csc²x − cot²x = 1.

2.2. Açı Toplamı–Farkı Kimliği

  • cos(π − θ) = −cos θ
    Burada π sabitidir (180°).

Bunların dışında akılda tutmamız gereken bir diğer temel formül:

  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos²x − sin²x (ek bilgi)

3. İfadenin Sadeleştirilme Adımları

Aşağıda adım adım gideceğiz.

3.1. Adım 1: csc²x − cot²x’nin Değeri

Pythagorean kimliğe göre:

csc²x − cot²x = 1

Dolayısıyla ifadenin payı şu hale gelir:

(1 − cos(π − 2x))

3.2. Adım 2: cos(π − 2x) Kimliğinin Uygulanması

Açı farkı kimliğinden:

cos(π − 2x) = −cos 2x

Bunu payda (pay) yerine yazarsak:

1 − (−cos 2x) = 1 + cos 2x

Bir başka bilinen kimlikle:

1 + cos 2x = 2 cos²x

Bu, pay kısmının 2 cos²x olduğunu gösterir.

3.3. Adım 3: Tam İfadenin Hesaplanması

Böylece başlangıç ifadesi:

(cosec²x − cot²x − cos(π − 2x))
= (1 − cos(π − 2x))
= (1 + cos 2x)
= 2 cos²x

Şekline dönüşmüştür. Bu 2 cos²x ifadesini pay, cot x ifadesini payda yaparak:

(2 cos²x)
─────────
cot x

Hatırlayalım: cot x = cos x / sin x. O halde

(2 cos²x)
─────────
cos x / sin x

= 2 cos²x · (sin x / cos x)
= 2 cos x·sin x
= sin 2x (çünkü sin 2x = 2 sin x cos x).

Böylece ifadenin sadeleştirilmiş biçimi sin 2x’tir.

4. Alternatif Yaklaşımlar

Bazı öğrenciler, doğrudan karışık ifadeyi kat/çarpan ayırarak da çözebilir:

  1. Başlangıçta payı (csc²x − cot²x) − cos(π − 2x) olarak görür,
  2. İlk iki terimi 1 olarak yazar,
  3. Geriye 1 − cos(π − 2x) kalır,
  4. cos(π − 2x)’nin –cos 2x olduğunu hatırlar,
  5. 1 + cos 2x = 2 cos²x → sonuç aynen çıkar.

Diğer bir yöntem, kimlikleri tek tek değil de sin–cos tablosu üzerinden değerlendirmektir; ama doğrudan kimlik kullanımı genellikle en kısasıdır.

5. Örnek Değerlerle Kontrol

x = 30° (π/6 rad) için sayısal kontrol:

  • sin 2x = sin 60° = √3/2 ≈ 0.8660

  • Orijinal ifade:
    cosec x = 1/sin 30° = 1/(1/2) = 2,
    cot x = cos 30°/sin 30° = (√3/2)/(1/2) = √3,
    cos(π − 2x) = cos(π − π/3) = cos(2π/3) = −1/2.

    pay = cosec²x − cot²x − cos(π − 2x)
    = 2² − (√3)² − (−1/2)
    = 4 − 3 + 1/2
    = 1 + 1/2 = 3/2

    payda = cot x = √3

    kesir = (3/2) / √3 = (3/2) · (1/√3) = 3/(2√3) = (√3)/2 ≈ 0.8660

Bu da sin 60° = √3/2 sonucuyla birebir örtüşür.

6. Sonuç ve Özet

  • Başlangıç İfadesi
    (cosec²x − cot²x − cos(π − 2x)) / cot x

  • Kullanılan Kimlikler
    • csc²x − cot²x = 1
    • cos(π − θ) = −cos θ
    • 1 + cos 2x = 2 cos²x
    • cot x = cos x / sin x
    • sin 2x = 2 sin x cos x

  • Sadeleştirilmiş Sonuç
    sin 2x

Bu nedenle doğru seçenek E) sin 2x’tir.

Özet Tablosu

Adım İşlem / Kimlik Kullanımı Sonuç
1. Pythagorean Kimlik csc²x − cot²x = 1 Pay → 1 − cos(π − 2x)
2. Açı Farkı Kimliği cos(π − 2x) = −cos 2x 1 + cos 2x
3. Çift Açı Kimliği 1 + cos 2x = 2 cos²x Pay → 2 cos²x
4. Bölme İşlemi (2 cos²x)/(cot x) ; cot x = cos x/sin x 2 cos x sin x = sin 2x

Doğru Cevap: E) sin 2x

@Binnur_Bal