Trigonometrik Limitlerin Hesaplanması ve Süreklilik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Trigonometrik fonksiyonlar sürekli oldukları noktalarda doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplanır: \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \frac{0}{0} belirsizliği içeren durumlarda ise temel limit kuralı olan \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 veya türevin tanımı f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. Soru: \lim_{x \to 2} \sin \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2} \right)
Fonksiyon x = 2 noktasında sürekli olduğundan doğrudan yerine yazılır:
\lim_{x \to 2} \sin \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = \sin(0) = 0
2. Soru: \lim_{x \to -\pi/6} \sqrt{1 + \cos (\pi \csc x)}
\csc\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sin(-\pi/6)} = \frac{1}{-1/2} = -2 değerini yerine koyalım:
\sqrt{1 + \cos(\pi \cdot (-2))} = \sqrt{1 + \cos(-2\pi)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
3. Soru: \lim_{\theta \to \pi/6} \frac{\sin \theta - \frac{1}{2}}{\theta - \frac{\pi}{6}}
Bu ifade, f(\theta) = \sin \theta fonksiyonunun \theta = \frac{\pi}{6} noktasındaki türev tanımıdır:
f'(\theta) = \cos \theta \implies f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
4. Soru (50): \lim_{\theta \to \pi/4} \frac{\tan \theta - 1}{\theta - \frac{\pi}{4}}
Bu ifade, g(\theta) = \tan \theta fonksiyonunun \theta = \frac{\pi}{4} noktasındaki türevinin tanımıdır:
g'(\theta) = \sec^2 \theta \implies g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2})^2 = 2
5. Soru: \lim_{x \to 0} \sec \left[\cos x + \pi \tan \left(\frac{\pi}{4 \sec x} \right) - 1 \right]
x \to 0 için \cos(0) = 1 ve \sec(0) = 1 değerlerini yerine yazalım:
\sec \left[ 1 + \pi \tan\left(\frac{\pi}{4 \cdot 1}\right) - 1 \right] = \sec\left[\pi \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] = \sec(\pi \cdot 1) = \sec(\pi) = -1
6. Soru: \lim_{x \to 0} \sin \left(\frac{\pi + \tan x}{\tan x - 2 \sec x} \right)
x \to 0 için \tan(0) = 0 ve \sec(0) = 1 olduğundan iç kısımdaki ifadeyi hesaplayalım:
\frac{\pi + 0}{0 - 2(1)} = -\frac{\pi}{2} \implies \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1
7. Soru: \lim_{t \to 0} \tan \left(1 - \frac{\sin t}{t} \right)
Temel trigonometrik limit kuralına göre \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 olur:
\tan(1 - 1) = \tan(0) = 0
8. Soru (54): \lim_{\theta \to 0} \cos \left(\frac{\pi \theta}{\sin \theta} \right)
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1 kuralını uygulayarak parantez içini çözelim:
\lim_{\theta \to 0} \frac{\pi \theta}{\sin \theta} = \pi \cdot 1 = \pi \implies \cos(\pi) = -1
CEVAP:
- 0
- \sqrt{2}
- \frac{\sqrt{3}}{2}
- 2 (Soru 50)
- -1
- -1
- 0
- -1 (Soru 54)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Pay ve paydası sıfıra giden trigonometrik fark kotalarında L’Hôpital kuralı uygulanabileceği gibi, ifadenin doğrudan türev tanımı olduğunu fark etmek (f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) zamandan büyük tasarruf sağlar.
