Trigonometrik İfadenin Sadeleştirilmesi

YKS TYT Forum
1

BİRE BİR ÖSYM 1
sec’x- tan’x - sin
tan x
ifa
A)
2x)
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)

\sin(2x)

B)

\cos(2x)

C)

\tan(2x)

D) cot(2x)
E) sec(2x)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 89.6 KB

2

Trigonometrik İfadenin Sadeleştirilmesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Pisagor Kimliği: \sec^2 x - \tan^2 x = 1
  2. Tümler Açı Özelliği: \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta
  3. Yarım Açı Formülü: 1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x
  4. Temel Tanım: \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Pay Kısmındaki Özdeşliklerin Belirlenmesi
Soruda verilen pay kısmındaki ilk iki terimi inceleyelim: \sec^2 x - \tan^2 x. Trigonometrik özdeşliklere göre 1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğu için, bu farkın değeri 1’dir.

Adım 2 — Sinüs İfadesinin Dönüştürülmesi
Pay kısmındaki diğer ifade olan \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) terimini ele alalım. \frac{\pi}{2} (90^\circ) açısı kullanıldığında fonksiyon isim değiştirir. Bu durumda ifade \cos(2x) değerine eşittir.

Adım 3 — İfadeyi Yeniden Düzenleme
Bulduğumuz değerleri ana kesirde yerine koyalım:

\frac{1 - \cos(2x)}{\tan x}

Adım 4 — Yarım Açı ve Tanjant Açılımı
Paydaki 1 - \cos(2x) ifadesini yarım açı formülüyle açalım: 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x.
Paydadaki \tan x ifadesini ise \frac{\sin x}{\cos x} olarak yazalım:

\frac{2\sin^2 x}{\frac{\sin x}{\cos x}}

Adım 5 — Sadeleştirme ve Sonuç
Bölme işlemini yapmak için birinciyi aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarpalım:

2\sin^2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}

Burada \sin x terimlerinden biri sadeleşir:

2\sin x \cdot \cos x

Bu sonuç, sinüs yarım açı formülüne göre \sin(2x) ifadesine eşittir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) \sin(2x)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Sekant ve Tanjant İlişkisi

  • Tanım: \sec x = \frac{1}{\cos x} ve \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadelerinden türetilen \sec^2 x - \tan^2 x = 1 eşitliği en temel kimliklerden biridir.
  • Bu problemde: Payın ilk kısmını doğrudan 1 yaparak soruyu basitleştirmemizi sağladı.

2. İndirgeme Formülleri

  • Tanım: \frac{\pi}{2} ve \frac{3\pi}{2} eksenlerinde isim değişikliği (sin \leftrightarrow cos, tan \leftrightarrow cot) yapılır.
  • Bu problemde: \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) ifadesi 1. bölgede olduğu için işareti pozitif kaldı ve ismi \cos(2x) oldu.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşaret Hatası

  • Yanlış: \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) ifadesini -\cos(2x) olarak almak.
  • Doğru: Birinci bölgede tüm fonksiyonlar pozitif olduğu için sonuç +\cos(2x) olmalıdır.
  • Neden Yanlış: Bölge kontrolü yapılmadan sadece isim değiştirilirse işaret hatası riski doğar.

Bu trigonometrik sadeleştirme konusunu daha iyi pekiştirmek için benzer bir yarım açı sorusu çözmemi ister misin?