Trigonometrik İfadelerin İşaret Analizi

YKS TYT
1

2026-AYTIMAT
olimak Gzere
Ktan2a) - cot(6a)
y

=\tan(3a) - \tan(2a)

z# sina - cosa
eşitlikleri veriliyo.
Buna göre x, y vez deģerlerinin işaretieri sIrasnyla
asağıdakilerden hangisidir?
B) -,+, -
D) +, -, *t
29 Nyay
E) +,+,+

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 38.8 KB

2

Trigonometrik İfadelerin İşaret Analizi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:]
Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve açı değerlerine göre büyüklük sıralamaları kullanılır.

  • 0^\circ < \alpha < 90^\circ (1. Bölge): Tüm değerler (+b) pozitif.
  • \tan(x) fonksiyonu 1. bölgede artandır.
  • 45^\circ değerinden küçük açılarda \cos(x) > \sin(x), büyük açılarda \sin(x) > \cos(x) geçerlidir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Açı Aralığının Belirlenmesi
Soruda verilen aralık a \in (\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}) yani derece cinsinden 15^\circ < a < 45^\circ aralığıdır. Bu aralıktaki tüm açılar 1. bölgededir.

Adım 2 — x İfadesinin Analizi (x = \tan(a) \cdot \tan(2a))

  • 15^\circ < a < 45^\circ ise \tan(a) pozitiftir (+).
  • 30^\circ < 2a < 90^\circ ise \tan(2a) pozitiftir (+).
  • İki pozitif değerin çarpımı pozitiftir: (+) \cdot (+) = (+).
  • Sonuç: x > 0

Adım 3 — y İfadesinin Analizi (y = \tan(2a) - \tan(a))

  • Tan jant fonksiyonu 1. bölgede artan bir fonksiyondur. Açı büyüdükçe tanjant değeri büyür.
  • 2a > a olduğu için \tan(2a) > \tan(a) olur.
  • Büyük sayıdan küçük sayı çıktığında sonuç pozitiftir.
  • Sonuç: y > 0

Adım 4 — z İfadesinin Analizi (z = \sin(a) - \cos(a))

  • 15^\circ < a < 45^\circ aralığında kosinüs değerleri sinüs değerlerinden daha büyüktür. ($45^\circ$’de eşitlenirler, $45^\circ$’ye kadar \cos üstündedir).
  • \sin(a) < \cos(a) olduğu için küçük sayıdan büyük sayı çıkarılmaktadır.
  • Sonuç negatiftir: (-) .
  • Sonuç: z < 0

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] x = (+), y = (+), z = (-) şeklindedir. Seçeneklere göre: (+, +, -)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Tanjantın Artanlığı

  • [Tanım:] Tanjant fonksiyonu 0^\circ ile 90^\circ arasında sürekli artar.
  • [Bu problemde:] 2a açısı a açısından büyük olduğu için \tan(2a) daha büyüktür ve fark pozitiftir.

2. Sinüs ve Kosinüs Kıyaslaması

  • [Tanım:] 45^\circ (birim çemberde y=x doğrusu) sinüs ve kosinüsün eşit olduğu noktadır.
  • [Bu problemde:] 45^\circ’nin altındaki açılarda yatay eksen (kosinüs) dikey eksenden (sinüs) daha uzundur.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Tanjant İşaret Hatası

  • [Yanlış:] 2a açısının 2. bölgeye geçtiğini varsaymak.
  • [Doğru:] a < 45^\circ olduğu için 2a < 90^\circ olur, yani hala 1. bölgededir.
  • [Neden yanlış:] Açı aralığını yanlış genişletmek tüm işaretleri hatalı yapar.

Bu çözümdeki adımlardan birini veya benzer bir trigonometri sorusunu daha detaylı incelememi ister misin?