Trigonometride Verilen Denklemin Kökü İle sin(a) Değerinin Bulunması

YKS TYT
1

1767792768504257141501073609659
17677927685042571415010736096593060×4080 734 KB

2

Trigonometride Verilen Denklemin Kökü İle sin(a) Değerinin Bulunması

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: ( x^2 - (\sin a) x - \frac{1}{4} (\cos^2 a) = 0 )
  • Denklemin bir kökü: ( \frac{2}{3} )
  • Bu bilgiyle (\sin a) bulunabilir.
  • (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a) eşitliği kullanılır.

Bu denklem bir ikinci dereceden denklemdir. Köklerden biri verilmiş. Kök bilgisi denklemde yerine konup (\sin a) için çözüm yapılır. Bu işlem sırasında trigonometrik özdeşlikler kullanılacaktır.

İçindekiler

  1. Verilen Denklemin Analizi
  2. Kökün Denklemde Kullanılması
  3. sin(a) Hesaplama Adımları
  4. Cevap Seçeneklerinin Değerlendirilmesi
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Denklemin Analizi

Verilen denklem:
[
x^2 - (\sin a) x - \frac{1}{4} (\cos^2 a) = 0
]

Bu, (x) değişkenine göre ikinci dereceden denklemdir. Genel form:
[
Ax^2 + Bx + C = 0
]
Burada;
(A = 1),
(B = -\sin a),
(C = -\frac{1}{4} \cos^2 a).

Kök formülleri ve trigonometrik kimliklerle problem çözülebilir.

2. Kökün Denklemde Kullanılması

Denklemin bir kökü (x = \frac{2}{3}). Bunu doğrudan denklemde yerine koyarak yazalım:
[
\left(\frac{2}{3}\right)^2 - (\sin a) \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cos^2 a = 0
]

Açalım:
[
\frac{4}{9} - \frac{2}{3} \sin a - \frac{1}{4} \cos^2 a = 0
]

3. sin(a) Hesaplama Adımları

Öncelikle (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a) kullanarak denklemi yeniden yazalım:

[
\frac{4}{9} - \frac{2}{3} \sin a - \frac{1}{4} (1 - \sin^2 a) = 0
]

Parantezi açalım:

[
\frac{4}{9} - \frac{2}{3} \sin a - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sin^2 a = 0
]

Sadeleştirelim:

[
\frac{4}{9} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{4} \sin^2 a = 0
]

Sayıları ortak payda bularak toplayalım:

[
\left(\frac{4}{9} - \frac{1}{4}\right) - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{4} \sin^2 a = 0
]

Ortak payda 36:

[
\frac{16}{36} - \frac{9}{36} - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{4} \sin^2 a = 0
]

[
\frac{7}{36} - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{4} \sin^2 a = 0
]

Denklemi standart ikinci derece denklem formuna getirelim:

[
\frac{1}{4} \sin^2 a - \frac{2}{3} \sin a + \frac{7}{36} = 0
]

Hepsini 36 ile çarparak paydaları kaldıralım:

[
9 \sin^2 a - 24 \sin a + 7 = 0
]

Bu ikinci derece denklemi çözelim:

[
9s^2 - 24s + 7 = 0 \quad (s = \sin a)
]

Diskriminant:

[
\Delta = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 576 - 252 = 324
]

Kökler:

[
s = \frac{24 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 9} = \frac{24 \pm 18}{18}
]

İki kök:

  1. (s_1 = \frac{24 + 18}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3} > 1) (Geçersiz, sinüs değeri [-1,1] aralığında olmalıdır)

  2. (s_2 = \frac{24 - 18}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}) (Geçerli)

4. Cevap Seçeneklerinin Değerlendirilmesi

Bulduğumuz (\sin a = \frac{1}{3}) ifadesi seçeneklerde E şıkkına karşılık geliyor.

5. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Denkleme kök yerine koyma (x = \frac{2}{3}) (\frac{4}{9} - \frac{2}{3} \sin a - \frac{1}{4} \cos^2 a =0)
(\cos^2 a) yerine özdeşlik (1 - \sin^2 a) (\frac{4}{9} - \frac{2}{3} \sin a - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sin^2 a=0)
Denklem sadeleştirme (9 \sin^2 a - 24 \sin a + 7=0)
Denklemi çözme (\sin a = \frac{1}{3}) (geçerli çözüm)
Cevap E şıkkı: (\frac{1}{3})

Sık Sorulan Sorular

1. Neden (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a) kullandık?
Bu, temel trigonometrik özdeşliktir ve ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ) eşitliğinden türetilmiştir. Böylece bir trigonometrik değeri diğerine çevirebiliriz.

2. İkinci dereceden denklemi neden çözdük?
Denklemde bilinmeyen (\sin a) olduğundan, (\sin a) için bir denkleme ulaştık ve kökü bulmak için ikinci derece denklemi çözdük.

3. Sinüs değeri neden 1’den büyük olamaz?
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı -1 ile 1 arasındadır, bu aralığın dışındaki değerler trigonometrik anlam taşımaz.

Sonraki Adımlar

Bu tür sorularda genel çözüm için kök-formülü kullanarak (\sin a) veya başka trigonometrik değerleri bulma adımlarını daha derin öğrenmek ister misiniz?

@mr0osoos

3

Denklemin bir kökü 2/3 olduğuna göre sin a kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • x=\tfrac{2}{3} denkleme konduğunda 9t^2 - 24t + 7 = 0 bağıntısı elde edilir.
  • Çözümler t_1=\tfrac{7}{3} (geçersiz), t_2=\tfrac{1}{3} olarak bulunur.
  • Sinüs fonksiyonunun değer aralığı [-1,1] olduğuna göre geçerli çözüm \sin a = \tfrac{1}{3}’tür.

\sin a = \tfrac{1}{3}.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Çözümlerin Karşılaştırması
  3. Özet Tablo
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Denklemde x=\tfrac{2}{3} yerine konur:
    \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^2 \;-\;\sin a\cdot\tfrac{2}{3}\;-\;\tfrac{1}{4}\cos^2 a \;=\;0
  2. \cos^2 a ifadesini 1-\sin^2 a ile değiştirerek t=\sin a alınır:
    \tfrac{4}{9} \;-\;\tfrac{2t}{3} \;-\;\tfrac{1-t^2}{4} \;=\;0
  3. Paydaları eşitleyip sadeleştirdiğimizde:
    9t^2 - 24t + 7 = 0
  4. Diskriminant \Delta =(-24)^2 -4\cdot9\cdot7=324
    t=\frac{24\pm18}{18}\;\Rightarrow\;t_1=\tfrac{7}{3},\;t_2=\tfrac{1}{3}
  5. t_1=\tfrac{7}{3} sinüs aralığının dışında kaldığından yalnızca
    \boxed{\sin a = \tfrac{1}{3}}
    geçerlidir.

Çözümlerin Karşılaştırması

Çözüm Değer Aralık Geçerli mi?
t_1 \tfrac{7}{3} [-1,1] dışında Hayır
t_2 \tfrac{1}{3} [-1,1] içinde Evet

Özet Tablo

Adım Sonuç
x değeri \tfrac{2}{3}
Denkleme geçiş 9t^2 - 24t + 7 = 0
Çözümler t_1=\tfrac{7}{3},\;t_2=\tfrac{1}{3}
Geçerli sinüs çözümü \sin a = \tfrac{1}{3}

SSS

S1. Neden t=\sin a aldık?
C1. \cos^2 a ifadesini 1-\sin^2 a formuna dönüştürmek ve tek bilinmeyenli denkleme ulaşmak için.

S2. Diskriminant nasıl hesaplanır?
C2. \Delta=b^2-4ac formülü ile. Burada a=9, b=-24, c=7.

S3. Bulunan iki çözümden birinin geçersiz olması nasıl anlaşılır?
C3. \sin a için tanımlı değer aralığı $[-1,1]$’dir; aralık dışında kalan kök elenir.

Bu konu ile ilgili 3 adet uygulama problemi ister misiniz?
@mroosoos