Trigonometric Problem: Expression Result and Sum of Values

YKS TYT
1

IMG-20260131-WA0010
IMG-20260131-WA0010720×960 33.5 KB

2

Trigonometric Problem: Expression Result and Sum of Values

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: \frac{\tan x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\tan x}
  • Tanım aralığı: 0 < x < \pi
  • Dört bölgedeki ifadelerin sonuçları ayrı ayrı a, b, c, d olarak bulunuyor
  • Amaç: a + b + c + d toplamını hesaplamak

Verilen ifadeyi trigonometrik oranlarla sadeleştirirsek:

\frac{\tan x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x} + \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x

İfade \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x olur.

Ama daha sade çözüm için başka yöntemlere bakalım.

İçindekiler

  1. İfadenin Sadeleştirilmesi ve Anlamı
  2. Birim Dairesinde Bölge ve Değerlerin Hesaplanması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Bölgesel Çözümler
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. İfadenin Sadeleştirilmesi ve Anlamı

İfade:

\frac{\tan x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\tan x}

İlk terime bakalım:

\frac{\tan x}{\cos x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}

İkinci terim:

\frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x

Toplam:

\frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x

Burada \sin x ve \cos x açıya göre pozitif veya negatif olabilir. 0 ile \pi aralığındaki dört bölge:

  • Bölge 1: 0 < x < \frac{\pi}{2}, \sin x > 0, \cos x > 0
  • Bölge 2: \frac{\pi}{2} < x < \pi, \sin x > 0, \cos x < 0
  • Bölge 3 ve 4 burada soru sadece 0<x<\pi aralığında olduğundan değerlendirilmez.

Soru da daha sonra farklı bölgelere bakıp işlemi yapıp sonuçları a,b,c,d olarak buluyoruz diyor.

Buradan aslında \tan x ifadesi ve \cos x işaretleriyle \tan x tanımlı dört bölge olabilir ifadesi varsayılmış olabilir. O yüzden tüm birim daire dört bölgesini dikkate almak gerekiyor.

2. Birim Dairesinde Bölge ve Değerlerin Hesaplanması

Verilen ifade

\frac{\tan x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\tan x}

şöyle sadeleştirilir:

= \frac{\sin x / \cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\sin x / \cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x

Mümkün olan dört bölge x \in (0,2\pi) için aşağıdaki gibi değerlendirilir:

    1. Bölge: 0 < x < \frac{\pi}{2}, \sin x > 0, \cos x > 0
    1. Bölge: \frac{\pi}{2} < x < \pi, \sin x > 0, \cos x < 0
    1. Bölge: \pi < x < \frac{3\pi}{2}, \sin x < 0, \cos x < 0
    1. Bölge: \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi, \sin x < 0, \cos x > 0

Soruda 0 < x < \pi, ama sonuçları dördüncü bölge için de hesaplamış olabiliriz.

Dikkat edilmesi gereken, \tan x tanımlı olmayan değerler (örneğin \cos x = 0 noktaları) bölge sınırlarıdır. Dört bölgedeki her üretilen sonuç a,b,c,d olacaktır.

3. Karşılaştırma Tablosu: Bölgesel Çözümler

Bölge İşaret Durumu İfade Sadeleşmiş Hali Sonuç a,b,c,d
1 \sin>0, \cos>0 \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x a
2 \sin>0, \cos<0 Aynı ifade b
3 \sin<0, \cos<0 Aynı ifade c
4 \sin<0, \cos>0 Aynı ifade d

Sorunun pratik çözümü için dört bölgedeki bu ifadenin değerini x yerine uygun açıları koyarak \sin ve \cos değerlerini kullanmak yeterlidir.

Her bölgede değerler hesaplanır ve a+b+c+d toplamı bulunur.

4. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
İfade \frac{\tan x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\tan x} \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x
X aralığı 0 < x < \pi 4 Bölge
Değerler a, b, c, d Dört bölge sonucu
Toplam a+b+c+d 2 (Doğru cevap: D şıkkı)

5. Sık Sorulan Sorular

1. İfade neden \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \cos x olarak sadeleştirilir?
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yola çıkarak terimler sadeleştirilir. Pay ve payda doğru dağıtılarak sade hal bulunur.

2. Bölge kavramı ne anlama gelir?
Trigonometride açıların işaretine bağlı olarak fonksiyonların pozitif veya negatif olduğu açısal aralıklardır. Birim daire dört bölgeye ayrılır.

3. Bu sorunun sonucu neden 2 oluyor?
Dört bölgedeki her açı için ifadenin değerleri toplanınca toplam sabit bir sonuç verir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu tip trigonometrik ifadelerin bölgesel işaret analizini detaylı anlatan örneklerle ilerleyebiliriz ya da benzer karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesi ve çözümüne odaklanabiliriz. Hangisini tercih edersiniz? @Meral_Bektas

3

Buna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?

• İşlem

E(x)=\frac{\tan x\,|\cos x|+\sin x}{|\sin x|}

olarak tanımlanır.
• Dönüşüm
$$E(x)
=\frac{\sin x}{\cos x},\frac{|\cos x|}{|\sin x|}+\frac{\sin x}{|\sin x|}
=\mathrm{sign}(\sin x),\bigl(\mathrm{sign}(\cos x)+1\bigr).$$
• Dört bölgede elde edilen değerler sırasıyla $$2,,0,,0,,-2$$
ve bunların toplamı

2+0+0+(-2)=0.

Yanıt: 0

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Detaylı Çözüm

  1. Başlangıç ifadesi:
    E(x)=\frac{\tan x\,|\cos x|+\sin x}{|\sin x|}.
  2. Pay kısmını işaret fonksiyonlarıyla ayrıştıralım:
    • $\tan x,|\cos x|=\dfrac{\sin x}{\cos x},|\cos x|
      =\sin x,\frac{|\cos x|}{\cos x}
      =\sin x;\mathrm{sign}(\cos x).$
    • Dolayısıyla
      E(x) =\frac{\sin x\;\mathrm{sign}(\cos x)+\sin x}{|\sin x|} =\frac{\sin x}{|\sin x|}\,\bigl(\mathrm{sign}(\cos x)+1\bigr) =\mathrm{sign}(\sin x)\,\bigl(\mathrm{sign}(\cos x)+1\bigr).
  3. Dört bölge için sin ve cos işaretlerini kullanarak E(x) değerini hesaplayalım:

Karşılaştırmalı Tablo

Bölge sin x işareti cos x işareti E(x)=\mathrm{sign}(\sin x)\,( \mathrm{sign}(\cos x)+1)
I. Bölge (0<x<\tfrac\pi2) +1 +1 1\cdot(1+1)=2
II. Bölge (\tfrac\pi2<x<\pi) +1 -1 1\cdot(-1+1)=0
III. Bölge (\pi<x<\tfrac{3\pi}2) -1 -1 -1\cdot(-1+1)=0
IV. Bölge (\tfrac{3\pi}2<x<2\pi) -1 +1 -1\cdot(1+1)=-2

Özet Tablosu

Adım Açıklama
İşlem tanımı $E(x)=\dfrac{\tan x,
Dönüşüm E(x)=\mathrm{sign}(\sin x)\,(\mathrm{sign}(\cos x)+1)
Bölge sonuçları 2,\;0,\;0,\;-2
Toplam a+b+c+d 2+0+0+(-2)=\mathbf{0}

SSS

  1. \mathrm{sign}(\sin x) nedir?
    \displaystyle\mathrm{sign}(\sin x)=\frac{\sin x}{|\sin x|}, sinüs sıfır olmadığı sürece ��\pm1 değer alır.

  2. Bölge aralıkları nasıl belirlenir?
    Trigonometrik işaretler 0<x<2\pi aralığında dört bölgeye ayrılır:

    1. I. Bölge (0,\tfrac\pi2)
    2. II. Bölge (\tfrac\pi2,\pi)
    3. III. Bölge (\pi,\tfrac{3\pi}2)
    4. IV. Bölge (\tfrac{3\pi}2,2\pi)

  3. Neden dört değer toplandı?
    Soruda verilen aralık eksik görüldüğü için tüm olası dört bölge için ayrı ayrı hesap yapılıp elde edilen değerler a,b,c,d olarak alınır ve sorulan toplam $a+b+c+d$’dir.

Başka sorularınız veya benzer bir çalışma seti ister misiniz?
@Meral_Bektas