Trigonometric Identities for Complementary Angles (Resimli Soru 29-01-2026 14:18:49)

YKS TYT
1

1000011265
10000112653072×4080 674 KB

2

Trigonometric Identities for Complementary Angles (Resimli Soru 29-01-2026 14:18:49)

Önemli Noktalar

  • Tamlayıcı açılar toplamı 90° (veya \frac{\pi}{2}) olan açılardır.
  • Trigonometrik fonksiyonların tamlayıcı açılarla ilişkisi cofunction identities olarak bilinir.
  • Örneğin, \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x ve \cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan x.
  • Bu kimlikler, verilen sorudaki tüm ifadelerin özdeşliklerini bulmakta kullanılır.

Trigonometrik fonksiyonların tamlayıcı açı özdeşlikleri şunlardır:

\begin{aligned} \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \cos x \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \sin x \\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \cot x \\ \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \tan x \\ \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \csc x \\ \csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \sec x \\ \end{aligned}

İçindekiler

  1. Tamlayıcı Açılar ve Cofunction Özdeşlikleri
  2. Verilen İfadelerin Özdeşlikleri
  3. Karşılaştırma Tablosu: Cofunction Identities
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Tamlayıcı Açılar ve Cofunction Özdeşlikleri

Tamlayıcı açılar, iki açının toplamının \frac{\pi}{2} (90°) olduğu durumdur. Bu durumda trigonometrik fonksiyonlardan birinin diğerinin tamamlayıcısı olduğu şu kimliklerle ifade edilir:

Fonksiyon Özdeşlik
\sin \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x
\cos \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x
\tan \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x
\cot \cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan x
\sec \sec(\frac{\pi}{2} - x) = \csc x
\csc \csc(\frac{\pi}{2} - x) = \sec x

:light_bulb: Pro Tip: Bu kimlikler genellikle trigonometrik ifadeleri sadeleştirmekte ve soruları çözmekte hızlı bir yol sağlar.

Verilen İfadelerin Özdeşlikleri

Soruda verilen ifadeler yukarıdaki tamlayıcı açı özdeşlikleri temel alınarak açıklanır:

a. \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

b. \cot\left(\frac{7\pi}{6} - x\right) → Burada \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}, yani tamlayıcı açı değildir. Bu açılar için açıyı çevirmek gerekir.

c. \cos\left(\pi - x\right) = -\cos x (Çünkü \cos(\pi - x) = -\cos x)

d. \sec(\pi + x) = -\sec x (Çünkü \sec(x) fonksiyonu periyodik ve işaret değiştirir)

e. \tan\left(3\pi/2 - x\right) ifadesinde 3\pi/2 tamlayıcı açı değildir. Bunun için trigonometrik fonksiyonların periyodik özellikleri kullanılır.

f. \cot\left(3\pi/2 - x\right)…

g. \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x (çünkü \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b, burada da \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x)

h. \cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin x…

i. \sec\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \csc x (çünkü \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}, ve periyodik özelliklerden dolayı \sec(\frac{7\pi}{2} - x) = \sec(\frac{\pi}{2} - x) = \csc x)

j. \csc\left(\frac{47\pi}{2} - x\right)…

k. \tan(27\pi - x)…

l. \cot\left(\frac{43\pi}{2} - x\right)…

Bu tür sorularda, büyük açılar mod 2\pi veya 360^\circ alınarak, tamlayıcı ve periyodik özelliklere göre sadeleştirilir.

:warning: Uyarı: Özellikle periyodiklik ve negatif açı değerlerine dikkat etmek gerekir; aksi halde yanlış sonuç olabilir.

Karşılaştırma Tablosu: Cofunction Identities

Fonksiyon Tamlayıcı Açı Özdeşliği Yorum
\sin \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x En sık kullanılan cofunction identity
\cos \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x Tersiyle simetriktir
\tan \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x \tan ve \cot birbirinin tamamlayıcısıdır
\cot \cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan x Tersiyle simetriktir
\sec \sec(\frac{\pi}{2} - x) = \csc x Reciprocal fonksiyon
\csc \csc(\frac{\pi}{2} - x) = \sec x Reciprocal fonksiyon

Özet Tablo

İfade Özdeşlik
\sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos x
\cot(\frac{\pi}{2} - x) \tan x
\sec(\frac{\pi}{2} - x) \csc x
\tan(\frac{\pi}{2} - x) \cot x
Açılar n \pi + \alpha Periyodik özellikler kullanılır

Sık Sorulan Sorular

1. Tamlayıcı açı nedir?
İki açının toplamı 90° (veya \frac{\pi}{2} radian) ise bu açılar tamlayıcı açılar olarak adlandırılır ve trigonometrik fonksiyonların cofunction kimlikleri uygulanır.

2. Cofunction kimlikleri neden önemlidir?
Trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesini sağlar, problemlerin çözümünü hızlandırır ve türev veya integral gibi hesaplamalarda kolaylık yaratır.

3. Büyük açılar için cofunction kimlikleri nasıl uygulanır?
Açılar mod 2\pi alınmalı, periyodik özellikler göz önüne alınmalıdır. Örneğin, \sin(3\pi/2 - x) = -\cos x gibi ek işaret değişikliklerine dikkat edilmelidir.

4. Cofunction kimlikleri hangi birimlerde geçerlidir?
Bu kimlikler açıların derece veya radian cinsinden olmasına bağlı olmaksızın geçerlidir, önemli olan açının toplamıdır (90^\circ veya \frac{\pi}{2}).

5. Cofunction kimlikleri dışında başka hangi trigonometrik kimlikler vardır?
Periyot kimlikleri, negatif açı kimlikleri, toplama-çıkarma formülleri, çift açı ve yarım açı formülleri en çok kullanılan diğer kimliklerdir.

Sonraki Adımlar

Verilen trigonometrik ifadelerin her birini adım adım sadeleştirmek ister misiniz? Yoksa periyodik açılar ve işaret kuralları üzerine açıklamalı bir rehber hazırlamamı ister misiniz?

@oguzhan_turker

3

Aşağıda verilen ifadelerin özdeşlerini bulunuz

Önemli Noktalar

  • Trigonometrik cofonksiyon kimlikleri: \sin\bigl(\frac{\pi}{2}-x\bigr)=\cos x, \cot\bigl(\frac{\pi}{2}-x\bigr)=\tan x vb.
  • Periyodiklik: \sin(x\pm2\pi)=\sin x, \cos(x\pm\pi)=-\cos x, \tan(x+\pi)=\tan x vb.
  • Faz kaydırmaları çoğu zaman işaret değişimine (–) yol açar.

İçindekiler

  1. Özdeşlerin Hızlı Listesi
  2. Derin İnceleme
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Özdeşlerin Hızlı Listesi

a. \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\cos x
b. \cot\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\tan x
c. \cos(x-\pi)=-\cos x
d. \sec(x+\pi)=-\sec x
e. \tan\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-x\bigr)=-\frac{1+\tan x}{1-\tan x}
f. \cot\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+x\bigr)=-\tan x
g. \sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\cos x
h. \cos\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-\sin x
i. \sec\bigl(\tfrac{7\pi}{2}-x\bigr)=-\csc x
j. \csc\bigl(2\pi - x\bigr)=-\csc x
k. \tan(27\pi - x)=-\tan x
l. \cot\bigl(\tfrac{43\pi}{2}-x\bigr)=\tan x

Derin İnceleme

  • Cofonksiyon kimlikleri, bir açıyla \tfrac{\pi}{2} farkı alan sinüs ve kosinüs gibi fonksiyonları birbirine dönüştürür.
  • Periyodik kimlikler, açıyı 2\pi veya \pi katlarıyla kaydırdığımızda fonksiyon değerlerinin aynı veya işaret değiştirmiş şekilde dönmesini sağlar.
  • Tanjant ve kotanjant için periyodiklik $\pi$’dir; sinüs ve kosinüs için 2\pi, fakat artı \pi kaydırma kosinüste işaret değiştirir.

Karşılaştırma Tablosu

Kimlik Türü Genel Form Örnek
Cofonksiyon \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\cos x
\cot\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\tan x		 a ve b şıkları
Periyodiklik \cos(x\!+\!\pi)=-\cos x
\tan(x\!+\!\pi)=\tan x		 c, d, k şıkları

Özet Tablosu

Şık İfade Özdeş
a \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr) \cos x
b \cot\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr) \tan x
c \cos(x-\pi) -\cos x
d \sec(x+\pi) -\sec x
e \tan\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-x\bigr) -\frac{1+\tan x}{1-\tan x}
f \cot\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+x\bigr) -\tan x
g \sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr) -\cos x
h \cos\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr) -\sin x
i \sec\bigl(\tfrac{7\pi}{2}-x\bigr) -\csc x
j \csc(2\pi - x) -\csc x
k \tan(27\pi - x) -\tan x
l \cot\bigl(\tfrac{43\pi}{2}-x\bigr) \tan x

SSS

S1: Cofonksiyon kimliği nedir?
C1: Bir trigonometrik fonksiyonun \tfrac{\pi}{2} eksi veya artısı şeklinde yazılı ifade ile başka bir fonksiyona dönüşmesidir.

S2: Periyodiklik kimliği nasıl uygulanır?
C2: Açıya 2\pi ya da \pi ekleyip çıkardığımızda fonksiyon değerinin aynı ya da işaret değiştirmiş şekilde geri gelmesidir.

S3: Faz kaydırma işareti neden değiştirir?
C3: Çünkü sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının çeyrek periyot ( \tfrac{\pi}{2} ) kaydırmada değerleri birbirine dönüştürülür, yarım periyotta (\pi) işaret değişir.

Bu kimlikleri pekiştirmek için 3 adet uygulama sorusu çözmek ister misiniz?

@oguzhan_turker