Trigonometri Sorusu - Soru #648034

[Melek42 (Melek)]

sibad

Soru:
Aşağıdaki grafikte bir bitkinin aylara göre boyundaki değişim gösterilmiştir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a. Verilen grafik temsilinin fonksiyon olma şartlarını sağlayıp sağlamadığını inceleyiniz.
b. Bu bitkinin boyu ile zaman arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyonu bulunuz.
d. Fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz.

sınavda çıkacak açıklayarak anlatırmısın

Soru Fotoğrafı:

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Aşağıdaki grafikte bir bitkinin aylara göre boyundaki değişim gösterilmiştir.

Buna göre aşağıdaki soruları açıklayarak çözelim.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Fonksiyon tanımı: Bir bağımsız değişkenin her değerine karşılık azami bir tane bağımlı değişken karşılık gelmelidir.
• Doğrusal fonksiyon formülü: y = mx + b
• Tanım kümesi: Fonksiyonun alabileceği tüm bağımsız değişken değerleri.
• Görüntü kümesi: Fonksiyonun alabileceği tüm değerler (bağımlı değişken).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyon Olma Şartlarını İncele

• Grafikte her bir ay (zaman) için bitkinin sadece bir boyu (cm) değeri verilmiş.
• Aynı x (zaman) değerine karşılık tek bir y (boy) değeri var.
• Bu nedenle grafik bir fonksiyon gösterir.

Adım 2 — Fonksiyonu Bul

• Grafik doğrusal ve artan.
• İlk nokta: (0, 20) (0 ayda boy 20 cm)
• Son nokta: (20, 100) (20 ayda boy 100 cm)
• Eğimi hesapla:
  m = \frac{100 - 20}{20 - 0} = \frac{80}{20} = 4
• Fonksiyon:
  y = 4x + 20
  Burada x ay sayısı, y bitkinin boyudur.

Adım 3 — Tanım Kümesini Bul

• Grafik 0 ay ile 20 ay arasında çizilmiş.
• Bu nedenle tanım kümesi:
  D = [0, 20]

Adım 4 — Görüntü Kümesini Bul

• 0 ayda boy 20 cm, 20 ayda boy 100 cm.
• Doğrusal artış ile aradaki her değer alınır.
• Görüntü kümesi:
  G = [20, 100]

---

CEVAP:

a) Grafik bir fonksiyon temsil eder, çünkü her bağımsız değişkene karşılık bir bağımlı değer vardır.
b) Fonksiyon: y = 4x + 20
c) Tanım Kümesi: [0, 20]
d) Görüntü Kümesi: [20, 100]

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sorumatik_GPT-5]

Aşağıdaki grafikte bir bitkinin aylara göre boyundaki değişim gösterilmiştir.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Doğrusal fonksiyon formu: y=mx+b
• Eğim (m) hesabı: m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
• Fonksiyon olup olmadığını kontrol: Dikey doğru testi (her x için en fazla bir y değeri)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafiğin fonksiyon olma şartlarını incele

Grafikte her zaman (her yatay konum = ay) için yalnızca bir nokta (tek bir boy) bulunmaktadır.

Açıklama: Dikey doğru testi uygulanır; herhangi bir dikey doğru grafiği en fazla bir noktada kesmektedir, dolayısıyla tek bir x için tek bir y vardır.

Sonuç: Grafiğin temsil ettiği ilişki fonksiyondur.

Adım 2 — Fonksiyon için iki belirgin noktayı belirle

Grafikten iki kolay okunur nokta seçilir.

Birinci nokta:

(x_1,y_1)=(0,20)

İkinci nokta:

(x_2,y_2)=(20,100)

Adım 3 — Eğim m hesaplama

Eğim formülünü yaz:

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

m=\frac{100-20}{20-0}

100-20=80

20-0=20

m=\frac{80}{20}

m=4

Adım 4 — Kesme (b) sabitini bulma ve fonksiyonu yazma

Doğrusal fonksiyon formunu yaz:

y=mx+b

Bulunan eğimi yerine koy:

y=4x+b

Birinci nokta ile yerine koy:

20=4\cdot 0 + b

4\cdot 0=0

20=0+b

b=20

Fonksiyon:

y=4x+20

Adım 5 — Fonksiyonun tanım kümesi (domain) bulunması

Grafikte zaman ekseni (x) 0 ile 20 ay arasında verilmiştir; uç değerler dahil görünmektedir.

Sonuç (tanım kümesi):

D=[0,20]

Adım 6 — Fonksiyonun görüntü kümesinin ( değer kümesi ) bulunması

Uç değerleri kullan:

y(0)=4\cdot 0 + 20

y(0)=20

y(20)=4\cdot 20 + 20

4\cdot 20=80

y(20)=80+20

y(20)=100

Grafik doğrusal ve sürekli olduğundan görüntü uç değerler arasında tüm değerleri içerir.

Sonuç (görüntü kümesi):

R=[20,100]

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a) Grafiğin gösterimi fonksiyon olma şartlarını sağlar (dikey doğru testi geçer).
b) Fonksiyon: \; y=4x+20 \; (burada x ay, y boy (cm)).
c) Tanım kümesi: D=[0,20].
d) Görüntü kümesi: R=[20,100].
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Fonksiyon

• Tanım: Her bağımsız değişken (x) için en fazla bir bağımlı değişken (y) verilen ilişki.
• Bu problemde: Her ay değeri için tek bir boy değeri var, dolayısıyla fonksiyon.

2. Eğim (m)

• Tanım: Doğrunun birim x artışındaki y artışı.
• Bu problemde: Eğim 4 cm/ay (her ay 4 cm uzuyor).

SIK YAPILAN HATALAR:

Nokta yanlış okunması

• Yanlış: Başlangıç yüksekliğini 0 cm almak.
• Doğru: Grafikten başlangıçta 20 cm olduğu okunur.
• Neden yanlış: Ekseni dikkatli okumamak.
• Düzeltme: Grafikteki kesişim noktalarını dikkatle belirleyin.

Eğim hesaplamasını tek adımda yazma

• Yanlış: m=(100-20)/(20-0)=4 şeklinde bir satırda hepsi.
• Doğru: Adım adım çıkarma ve bölme yapın.
• Neden yanlış: Adım atlamalar hata yapmayı kolaylaştırır.
• Düzeltme: Her işlem adımını ayrı satırda gösterin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

a ve b şıkkını tekrar anlatır mısın

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

a ve b şıklarının detaylı açıklaması

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Fonksiyon tanımı: Her bağımsız değişken (x) için ekranda en fazla bir bağımlı değişken (y) olmalı.
• Dikey doğru testi: Bir grafikte herhangi bir dikey doğru sadece bir noktada kesiyorsa, grafik fonksiyondur.
• Doğrusal fonksiyon formu: y = mx + b
• Eğim formülü: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a şıkkı: Fonksiyon Olma Şartını Kontrol Et

• Grafikte her ay (x değeri) için bir tane boy (y değeri) var.
• Aynı dikey doğruda birden fazla nokta yok.

Sonuç: Dikey doğru testi geçiyor, yani grafik bir fonksiyonu temsil ediyor.

Adım 2 — b şıkkı: Fonksiyonun Denklemini Bul

• Grafikte iki kolay okunur nokta alınır:
  • Başlangıç noktası: (0, 20)
  • Son nokta: (20, 100)
• Eğim hesaplanır:
  m = \frac{100 - 20}{20 - 0} = \frac{80}{20} = 4
• Fonksiyon formu yazılır:
  y = mx + b
• Başlangıç noktasından b bulunur:
  20 = 4 \times 0 + b \implies b = 20
• Sonuç olarak fonksiyon:
  y = 4x + 20

---

CEVAP:
a) Grafik fonksiyon olma şartlarını sağlar, çünkü her x için tek bir y değeri vardır.
b) Fonksiyonun denklemi: y = 4x + 20 .

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

5 yaşındaki çocuğa anlatır gibi anlatır mısın mala anlatır gibi anlat kısaca

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

a ve b şıklarının 5 yaşındaki çocuğa anlatımı

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Bir şeye bakalım, ona göre her zaman sadece bir tane cevap olmalı.
• Doğrusal büyüme demek, her ay aynı hızda büyüyor demek.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a şıkkı (Fonksiyon ne demek?)
Diyelim ki aylara göre bitkinin boyunu çizdik.
Her ay sadece bir tane boyu var, bir ayda iki farklı boy olmaz, değil mi?
O yüzden bu çizgi doğru ve her ay için tek bir sayı gösteriyor, buna fonksiyon diyoruz.

Adım 2 — b şıkkı (Fonksiyon nasıl bulunur?)
Bitki her ay büyür.
Başladığında boyu 20 cm.
20 ay sonra boyu 100 cm olmuş.
Bu demek ki her ay biraz büyümüş.
Ne kadar büyüdüğünü bulmak için:
- 100’den 20’yi çıkar, cevap 80
- 80’i 20’ye böl (çünkü 20 ay var), cevap 4 çıktı
Yani her ay 4 cm büyüyor.
Sonra baştaki 20 cm’i ekleyince, bitkinin boyunu buluyoruz:
Boy = 4 × ay sayısı + 20 cm

---

CEVAP:
a) Her ayın sadece bir boyu var, yani bu bir fonksiyon.
b) Bitkinin boyu = 4 × ay + 20 cm.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

b şıkkında bir bu halini bir de formül halini yazar mısın hala anlamadım nasıl yapacağımı şimdi sınavda bu 5 yaşındaki çocuğa anlattığın gibi bunu yazsam ama kabul edilmez ki bu formül falan yok

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

b şıkkının 5 yaşındaki çocuğa anlatımı ve formül hali

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Doğrusal fonksiyon: y = mx + b
• Eğim (m) hesaplama: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
• b: Fonksiyonun başlangıç noktası (y ekseni kesişimi)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 5 yaşındaki çocuğa anlatımı

• Bitkinin boyu her ay biraz büyür.
• Başlangıçta boy 20 cm, 20 ay sonra boy 100 cm olmuş.
• Bu demek ki her ay eşit miktarda büyüyormuş.
• Ne kadar büyüdüğünü bulmak için:
  • 100’den 20’yi çıkar (toplam büyüme) → 80 cm
  • 80 cm’yi 20 aya böl → 4 cm (her ay büyüme miktarı)
• Şimdi diyelim ki ay sayısını bilmek istiyoruz, bitkinin boyuna bu formüle bakarak ulaşırız:
  \text{Boy} = 4 \times (\text{Ay sayısı}) + 20

Adım 2 — Formülsel anlatımı

• İlk olarak iki nokta seçilir:
  (x_1, y_1) = (0, 20), \quad (x_2, y_2) = (20, 100)
• Eğim hesaplanır:
  m = \frac{100 - 20}{20 - 0} = \frac{80}{20} = 4
• Fonksiyon formu:
  y = mx + b
• b’yi bulmak için başlangıç noktasını yerine koy:
  20 = 4 \times 0 + b \implies b = 20
• Böylece fonksiyon:
  y = 4x + 20
  Burada x ay sayısı, y ise bitkinin boyudur.

---

CEVAP:
b) Formül halinde: y = 4x + 20
5 yaşındaki çocuğa anlatımı: Bitki her ay 4 cm büyür, başlangıç boyu 20 cm’dir. Bitkinin boyu, ay sayısı ile 4 ile çarpılır ve 20 eklenir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

@sorumatik_uzman_bot bu formül halindekinde y = 4 4’ün yanında bir şey yazıyor onların anlamları ne oluyor y ne anlama geliyor ya da orada b var mesela b ne anlamına geliyor 20 eşittir 4 x 0 + b yazıyor o ne demek

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

y = 4x + 20 formülündeki terimlerin anlamı

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Doğrusal fonksiyon formu: y = mx + b
• Burada m eğim, b başlangıç değeridir.

AÇIKLAMA:

• y: Bitkinin boyudur (cm cinsinden). Yani, y bize bitkinin kaç cm olduğunu söyler.
• x: Zamanı, yani ay sayısını gösterir. Örneğin x=5 ise bitki 5 aylıktır.
• 4 (yani m): Bitkinin her ay kaç cm büyüdüğünü gösterir. Burada 4 cm/ay büyüme hızıdır.
• b: Başlangıçtaki boy, yani zaman sıfır iken (başlangıçta) bitkinin boyudur. Burada b=20 cm’dir.
• 20 = 4 \times 0 + b denklemi:
  Zaman sıfır (başlangıç) iken bitkinin boyunu buluyoruz.
  4 \times 0 = 0, yani büyüme daha başlamadı.
  O yüzden sadece başlangıç boyu b kalıyor ve eşittir 20. Buradan b=20 bulunuyor.

---

Özet:

• y=4x+20 diyorsa, “Bitkinin boyu = (Her ay 4 cm büyür × kaç ay geçti) + Başlangıçta 20 cm’ydi” demektir.
• y, bitkinin o anki boyu,
• x, ay sayısı,
• 4 büyüme hızını,
• 20 ise başlangıç boyunu gösterir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

@sorumatik_uzman_bot bu harfleri değiştirsek de olur mu mesela y harfi yerine a koysak ya da m yerine be koysak

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

y = 4x + 20 formülündeki harflerin yerini değiştirmek mümkün mü?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Matematikte fonksiyonlarda değişken ve sabitlerin gösterimi için farklı harfler kullanılabilir.
• Önemli olan kullanılan harflerin neyi temsil ettiğinin açık olmasıdır.

AÇIKLAMA:

• y , bağımlı değişkeni (sonucu) göstermek için genellikle kullanılır ama yerine başka harfler (mesela a , h ) de konabilir.
• x , bağımsız değişkeni (girdi, zaman gibi) gösterir, başka sembollerle de gösterilebilir.
• m , eğim veya büyüme hızını ifade eder; buna farklı harfler (örneğin b , k ) de verilebilir.
• b , başlangıç değerini belirtir; bu da farklı harflerle gösterilebilir.

Önemli olan: Harflerin ne anlama geldiğini sınavda açıkça yazmanızdır, böylece öğretmen neyi kastettiğinizi anlar. Örneğin:

• “Burada a bitkinin boyunu, t zamanı (ay sayısı), k ise büyüme hızını gösteriyor.”

Sonuç olarak, harfleri değiştirebilirsiniz ancak neyi temsil ettiklerini açıklamanız gerekir.

---

CEVAP:
Evet, harfleri değiştirebilirsiniz ama her harfin ne anlama geldiğini açıklamalısınız. Böylece formül hâlâ doğru ve anlaşılır olur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

b bitkinin boyu, t zamanı,h hızı,a başlangıç boy, buna göre formülü yazar mısın

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

b bitkinin boyu, t zamanı, h hızı, a başlangıç boy; buna göre formülü yazar mısın

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Doğrusal fonksiyon genel formu:
  y = mx + b
• Burada harfler ihtiyaca göre değiştirilebilir, önemli olan anlamlarıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

• b: Bitkinin boyu (bağımlı değişken, sonuç)
• t: Zaman (ay sayısı, bağımsız değişken)
• h: Büyüme hızı (eğim, her ay büyüme miktarı)
• a: Başlangıç boyu (zaman sıfırdaki boy)

Buna göre formül:

b = h \times t + a

Açıklama:

• Bitkinin boyu (b) = (Büyüme hızı h) × (Zaman t) + (Başlangıç boyu a)
• Örneğin, bitki her ay h cm büyür, şu anda t ay geçti, başlangıçta a cm idi.

---

CEVAP:
Bitkinin boyu ile zaman arasındaki ilişki şöyle yazılır:

\boxed{b = h t + a}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

@sorumatik_uzman_bot çözümünü de yapar mısın bu dediğim harflere göre bir de b’ye bitkinin boyu a’ya da başlangıç boyu dedik ya b o zaman hangi boyu oluyor en baştaki boyu mu

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

b = ht + a formülündeki terimleri ve çözümü açıklayalım

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Doğrusal fonksiyon formu: b = ht + a
• Burada:
  • b = bitkinin o andaki boyu (cm)
  • t = zaman, yani ay sayısı
  • h = bitkinin her ay büyüme miktarı (cm/ay)
  • a = bitkinin başlangıç boyu (zaman sıfır iken, t=0 anındaki boy)

AÇIKLAMA VE ÇÖZÜM:

• Sorudaki grafik ve bilgilerden:
  Başlangıçta (0. ayda) bitkinin boyu a = 20 cm’dir.

• 20 ay sonra bitkinin boyu b = 100 cm oldu.

• Büyüme hızı (h) şöyle hesaplanır:

  h = \frac{\text{Son boy} - \text{Başlangıç boyu}}{\text{Geçen zaman}} = \frac{100 - 20}{20 - 0} = \frac{80}{20} = 4 \text{ cm/ay}

• Formül:

  b = h t + a = 4t + 20

• Bu formülde t’ye istediğiniz ay sayısını koyarsınız, b size o andaki bitkinin boyunu verir.

Soru: “b o zaman hangi boyu oluyor? En baştaki boyu mu?”

• Hayır. b fonksiyonun sonucu, yani herhangi bir anda bitkinin boyu olur.
• Zaman t=0 iken:
  b = 4 \times 0 + 20 = 20
  Bu başlangıç boyudur.
• Ama mesela t=5 olursa:
  b = 4 \times 5 + 20 = 20 + 20 = 40 \text{ cm}
  Böylece 5 ay sonraki boyu gösterir.

---

CEVAP:

• a bitkinin başlangıçtaki boyu (20 cm),
• h her ay büyüme miktarı (4 cm/ay),
• b ise formülün sonucu olarak herhangi bir anda bitkinin boyudur.
• Formül:

\boxed{b = 4t + 20}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

@sorumatik_uzman_bot hala anlamadım daha az işlemli ve daha açıklayın bir şekilde yazarım mesela b’ye bitkinin boyu ya oraya b’ye yerine hangi sayı yazdık t zamanını yaz t’nin yerine hangi sayıyı yazdık gibi hep bu sayıların altına hangi harfe denk geldiğini yazar mısın

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

b = ht + a formülünde sayılar ve harflerin anlamı ve örnek çözümü

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

b = h t + a

• b: Bitkinin boyu (cm)
• h: Her ay bitkinin büyüme miktarı (cm/ay)
• t: Zaman, yani ay sayısı
• a: Başlangıçta bitkinin boyu (cm)

ADEM ADEME KOLAY ANLATIM VE ÖRNEK:

Yazılan	Anlamı	Örnek sayı	Harfin karşılığı
b	Bitkinin boyu	?	Formülün sonucu
h	Ayda büyüme	4 cm	Bitki her ay 4 cm büyür
t	Zaman (ay)	5 ay	Bitkinin kaç ay geçtiği
a	Başlangıç boyu	20 cm	Bitkinin 0. aydaki boyu

Şimdi formüle yazalım:

b = h \times t + a

Burada:

• h = 4 (Her ay büyüme: 4 cm)
• t = 5 (Örnek olarak 5. ay)
• a = 20 (Başlangıç boyu: 20 cm)

Yerine koyarsak:

b = 4 \times 5 + 20

b = 20 + 20

b = 40 \text{ cm}

Yani, 5 ay sonra bitkinin boyu 40 cm olur.

---

Özet:

• b yerine formül sonucu geliyor, yukarıdaki örnekte 40 cm yazdık.
• h büyüme miktarıdır, 4 cm/ay.
• t zamanı gösterir, kaçıncı ay olduğu, örnekte 5 koyduk.
• a başlangıçtaki boy, yani 0. ayda bitkinin boyu, burada 20 cm.

Böylece:

b = 4 \times 5 + 20 = 40 \quad \Rightarrow \quad \text{5. ayda bitkinin boyu 40 cm}

Başka aylar için t yerine o ay sayısını yazar, bitkinin boyunu b bulursun.

---

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Melek42 (Melek)]

@sorumatik_uzman_bot en başta attığım görseldeki A şıkkını Bir daha anlatır mısınız