Trigonometri Sorusu: Birim Çemberde İKHI Uzunluğu Hesaplama

YKS TYT
1

IMG_20260128_204833_1
IMG_20260128_204833_1720×960 23.6 KB

2

Trigonometri Sorusu: Birim Çemberde İKHI Uzunluğu Hesaplama

Önemli Noktalar

  • Birim çemberde nokta A’nın konumu ve verilen açılar trigonometrik fonksiyonlarla ilişkilidir.
  • Verilen açı: m(AOK) = 55°
  • Dik koşul: [AH] ⟂ [KM]
  • Amaç: |KH| uzunluğunu bulmak.

Birim çemberde, verilen açı ve diklikten faydalanarak, |KH| uzunluğunu kosinüs fonksiyonu ve üçgen ilişkileriyle hesaplayabiliriz.

İçindekiler

  1. Sorunun Analizi ve Verilerin İncelenmesi
  2. İKHI Uzunluğunun Trigonometrik İfadesi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin İncelenmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Sorunun Analizi ve Verilerin İncelenmesi

Şekilde:

  • Birim çember var; yani yarıçap 1 birim.
  • O noktasından A noktasına olan açının ölçüsü 55°.
  • [AH] doğrusu, [KM] doğrusuna dik olarak çizilmiş.
  • Amaç, |KH| uzunluğunu bulmak.

Burada önemli nokta, A noktasından merkez O’ya olan açının 55° olması, yani nokta A’nın koordinatlarının trigonometrik ifadeleri (cos55°, sin55°) olarak yazılabilmesidir. Dik şart [AH] ⟂ [KM] bize, H noktasının K ile olan yatay mesafesine göre belirler.

:light_bulb: Pro Tip: Birim çemberde bir noktanın koordinatları (cosθ, sinθ) olur. Buradaki θ açısı m(AOK) yani 55°’dir.

2. İKHI Uzunluğunun Trigonometrik İfadesi

  • Noktaların koordinatlarını yazalım:

    • K noktası (-1, 0) çünkü K, x ekseninde ve çemberin sol ucunda.
    • H noktası (cos55°, 0) — çünkü H, A’dan KM doğrusu üzerine indirilen dikmenin ayağıdır ve y=0 (x ekseni) üzerinde.
    • I noktası (cos55°, sin55°) — A’nın koordinatları olarak kabul edilebilir.

  • İstenen uzunluk |KH|, iki nokta arasındaki mesafe:

    |KH| = |x_K - x_H| = |-1 - \cos 55^\circ| = 1 + \cos 55^\circ

Buradan doğrudan şıklara baktığımızda, C seçeneği “1 + cos 55°” ile uyumludur.

:warning: Uyarı: Burada dikkat edilmesi gereken, IKHI değil, sadece KH uzunluğudur ve K ile H’nın y koordinatı aynıdır, dolayısıyla yatay eksende uzaklık alınır.

3. Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin İncelenmesi

Seçenek İfade Açıklama Uygunluk
A 1 - cos125° cos125° negatif olduğundan toplam büyür Yanlış
B 1 - cos35° cos35° pozitiftir; anlamlı değil Yanlış
C 1 + cos55° Doğrudan hesaplanan değer Doğru
D 1 + cos35° Cos35° farklı açı; 55° açısı verilmiş Yanlış
E 1 + cos125° Cos125° negatif, sonuç az olur Yanlış

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen Açılar m(AOK) = 55°
Noktalar K (-1,0), H (cos55°,0), A (cos55°, sin55°)
İstenen Uzunluk
Doğru Seçenek C şıkkı

Sık Sorulan Sorular

1. Neden KH uzunluğu yatay eksen farkı olarak hesaplanır?
Çünkü H ve K noktaları y=0 (x ekseninde) yatayda yer alır. Bu durumda aralarındaki mesafe sadece x eksenindeki farktır.

2. Birim çember nedir?
Yarıçapı 1 birim olan çemberdir. İçindeki herhangi bir noktanın koordinatları trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilir.

3. Dik koşul nereden kullanıldı?
[AH] ⟂ [KM] koşulu, H noktasının KM doğrusu üzerinde ve A’dan çizilen dikme ayağı olduğunu gösterir.

4. cos125° neden burada tercih edilmez?
125° açısının kosinüsü negatiftir, bu nedenle 1 + cos125° küçülür ve problemde anlamlı sonuç vermez.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik çember soruları için analitik yöntemlerle nokta koordinatlarının trigonometrik ifadelerle bağlantısını öğrenmek ister misiniz? Yoksa dik üçgenler ve açı hesapları üzerine ayrıntılı örnekler hazırlayayım mı?

@Meral_Bektas

3

Soru

Şekildeki birim çemberde A noktası çember üzerinde ve [AH] ⟂ [KM]’dir. m(AOK)=55° olduğuna göre, \(|KH|\) uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

Ana Hatlar

  • A noktasının merkezden ölçülen açısı $180°-55°=125°$’tir.
  • A noktasının koordinatları \bigl(\cos125°,\,\sin125°\bigr) olur.
  • K=(-1,0) ve H=(\cos125°,0) olduğundan
    \[
    |KH| = \bigl|\cos125° - (-1)\bigr| = 1 + \cos125°.
    \]

İçindekiler

  1. Derin İnceleme
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Derin İnceleme

  1. Birim çemberde K=(-1,0) noktasından başlayarak \angle AOK =55° iç açısı ölçülür.
  2. Işın OK sola (180°), OA ise 180°-55°=125° yönünde olduğu için
    A\bigl(\cos125°,\,\sin125°\bigr).
  3. Düşey izdüşümle H=(\cos125°,\,0) bulunur.
  4. İki nokta arası yatay mesafe
    |KH|=\bigl|\cos125° - (-1)\bigr| = 1 + \cos125°.
  5. Cos125° negatif olduğundan sonuç 1+\cos125°<1 değerini alır.

Özet Tablosu

Nokta Koordinat Açıklama
K (-1,0) Çemberin sol kesişim noktası
A (\cos125°,\,\sin125°) \angle AOK=55°\implies125° yönünde
H (\cos125°,\,0) $A$’nın x eksenine dik izdüşümü
$ KH $

SSS

  1. S: Neden A noktasının açısı 125° oluyor?
    C: Başlangıç ışını OX ekseninin pozitif yönü değil, OK ekseninin negatif yönüdür (180°).
  2. S: |KH| yerine KH alsak işaret problemi çıkar mı?
    C: KH vektörel uzunluk değildir, mesafe olduğu için mutlak alınmalıdır.
  3. S: Cosınüs değeri negatif olunca toplam neden küçülüyor?
    C: \cos125°<0 olduğu için 1+\cos125°<1 olur; mutlak değerde işaret düzeltmesi gerekli.
  4. S: Alternatif çözüm var mı?
    C: Analitik yerine trigonometri bağıntılarıyla da doğrudan formül kurulabilir.

Doğru seçenek: E) 1+\cos125°

Başka benzer açı değerleriyle pratik yapmak ister misiniz?
@Meral_Bektas