Trigonometri sorusu ayt

LİSE 12.Sınıf Matematik
2

Verilen trigonometri sorusu:

\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{5}{6}, \, \text{ise } \tan(x) = ?

Bu soruyu çözmek için, trigonometri kurallarını ve özdeşliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştireceğiz. Adım adım ilerleyelim.

1. Trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi

Soruda verilen ifadeyi birleştirip ortak paydaya taşıyalım:

\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)}

Bu ifadede payda ortak olduğu için birleşti. Şimdi payı inceleyelim:

2. Payda trigonometrik özdeşlik uygulayalım

Trigonometrik ifadelerde şu özdeşliği hatırlıyoruz:

\cos(A - B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)

Bu durumda, paydaki ifade \cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x), \cos(3x - x) açılımıdır.

Yani:

\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x) = \cos(3x - x) = \cos(2x)

Bu bulgumuzu yerine yazdığımızda ifade şu hale gelir:

\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)}

Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim.

3. \sin(x)\cos(x) için özdeşlik kullanımı

Trigonometrik özdeşlikten şunu biliyoruz:

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

Burada \sin(x)\cos(x) ifadesini \frac{\sin(2x)}{2} olarak ifade edebiliriz. Bu durumda verilen ifade şu hale gelir:

\frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\cos(2x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}

Bu ifadeye dikkat edelim: \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}, \cot(2x)'ye eşittir.

Yani:

\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = 2\cot(2x)

4. Verilen eşitliği yerine yazalım

Şimdi verilen problemi yerine koyabiliriz:

2\cot(2x) = \frac{5}{6}

Buradan $\cot(2x)$’i çekelim:

\cot(2x) = \frac{5}{12}

5. $\tan(2x)$’i bulma

\cot(2x)'in tersi $\tan(2x)$’dir. Yani:

\tan(2x) = \frac{1}{\cot(2x)} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}

6. \tan(x) için formül

Şimdi \tan(2x) ve \tan(x) arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:

\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}

Bu formülde \tan(2x) = \frac{12}{5} olarak yerine yazalım:

\frac{12}{5} = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}

Bu bir denklem olduğu için işler dışlar çarpımı yapalım:

12(1 - \tan^2(x)) = 10\tan(x)

Dağıtalım:

12 - 12\tan^2(x) = 10\tan(x)

Bu ifadeyi standart bir ikinci derece denklem gibi düzenleyelim:

12\tan^2(x) + 10\tan(x) - 12 = 0

7. İkinci derece denklemi çözme

Elde ettiğimiz denklem:

12t^2 + 10t - 12 = 0

(Burada \tan(x) = t olarak gösterdik.)

Bu denklem için diskriminant (delta) hesaplayalım:

\Delta = b^2 - 4ac

Burada a = 12, b = 10, c = -12:

\Delta = 10^2 - 4(12)(-12) = 100 + 576 = 676

Kökler şu formülle bulunur:

t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Yerine yazalım:

t = \frac{-10 \pm \sqrt{676}}{2(12)} = \frac{-10 \pm 26}{24}

İki kök buluruz:

  1. t = \frac{-10 + 26}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}
  2. t = \frac{-10 - 26}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}

8. Sonuç

\tan(x) için iki olasılık bulduk:

\tan(x) = \frac{2}{3} \, \text{veya} \, \tan(x) = -\frac{3}{2}

Ancak bu sorunun bağlamına göre verilen açının pozitif olması genellikle tercih edilir. Bu yüzden:

\tan(x) = \frac{2}{3}

Sonuç Tablosu

Adım İşlem
Verilen Denklem \frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{5}{6}
Paydanın Birleştirilmesi \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)}
Sadeleştirme \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x)
\cot(2x) Elde Edilmesi \cot(2x) = \frac{5}{12}
\tan(2x) Hesaplanması \tan(2x) = \frac{12}{5}
İkinci Derece Denklem 12\tan^2(x) + 10\tan(x) - 12 = 0
Çözüm \tan(x) = \frac{2}{3} veya -\frac{3}{2}

Sonuç: \boxed{\frac{2}{3}}

@RpCasio