A) \sin^2 70^irc + os^2 70^irc
B) \frac{\sin^2 40^irc + 3 os^2 40^irc - 2}{\sin^2 50^irc + 4 os^2 50^irc + 1}
da verilen ifadelerin değerlerini bulunuz.
Trigonometrik Özdeşlikler ve Değer Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Herhangi bir x reel sayısı veya açısı için temel Pisagor trigonometrik özdeşliği \sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliğidir. Aynı açıya sahip sinüs ve kosinüsün kareleri toplamı daima 1’e eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A İfadesinin Değerini Bulma
Verilen ifade doğrudan temel trigonometrik özdeşlik kuralıdır:
\sin^2 70^\circ + \cos^2 70^\circ = 1
Adım 2 — B İfadesinin Değerini Bulma
Görselin sol tarafı kırpıldığı için katsayılar kesik görünmektedir; ifadenin sayısal bir değer belirtmesi ve paranteze alınabilmesi için terimlerin katsayıları eşittir:
- Pay: 3\sin^2 40^\circ + 3\cos^2 40^\circ - 2 = 3(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ) - 2
- Payda: 4\sin^2 50^\circ + 4\cos^2 50^\circ + 1 = 4(\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ) + 1
\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 ve \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ = 1 değerlerini yerlerine yazalım:
\frac{3(1) - 2}{4(1) + 1} = \frac{3 - 2}{4 + 1} = \frac{1}{5}
(Not: Görselin solundaki kurşun kalemle yazılmış el yazısı notunda da \frac{1}{5} sonucu doğrulanmaktadır.)
CEVAP:
- A) 1
- B) \frac{1}{5}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Açıların kaç derece olduğundan bağımsız olarak (70^\circ, 40^\circ, 50^\circ vb.), kareler toplamının 1 olabilmesi için açıların birbirine eşit olması yeterlidir. Katsayılı sorularda ortak çarpan parantezine alarak \sin^2 x + \cos^2 x kalıbını oluşturmak en pratik çözüm yoludur.