C) P(..., 1..)$
\sin 120^irc =
os 120^irc =
Birim Çemberde 120^\circ’lik Açının Trigonometrik Değerleri ve P Noktası
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birim çember üzerinde pozitif yönlü \theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta:
P(\cos\theta, \, \sin\theta)
- İndirgeme Formülleri (II. Bölge):
\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \cos 120^\circ Değerini Hesaplama
120^\circ’lik açı koordinat sisteminde II. bölgededir. II. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Açıyı 180^\circ - 60^\circ biçiminde yazarak sadeleştirelim:
\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}
Adım 2 — \sin 120^\circ Değerini Hesaplama
II. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir:
\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Adım 3 — P Noktasının Koordinatlarını Belirleme
Birim çember üzerindeki P noktasının apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise açının sinüsüne eşittir:
P(x, y) = P(\cos 120^\circ, \, \sin 120^\circ) = P\left(-\frac{1}{2}, \, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- P\left(-\frac{1}{2}, \, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
- \sin 120^\circ = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}
- \cos 120^\circ = \mathbf{-\frac{1}{2}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Birim Çember: Yarıçapı 1 birim olan ve merkezi orijin (0,0) kabul edilen çemberdir. Apsis ekseni kosinüs ekseni, ordinat ekseni ise sinüs eksenidir.
- II. Bölge İşaretleri: Bu bölgede x değerleri negatif (\cos < 0), y değerleri pozitiftir (\sin > 0).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: II. bölgede yer alan açının kosinüs değerini pozitif alarak \cos 120^\circ = \frac{1}{2} yazmak.- Doğru Yaklaşım: II. bölgede x ekseni negatif tarafta olduğundan kosinüs değeri daima negatiftir: \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.
Aynı mantıkla 135^\circ veya 150^\circ açılarının trigonometrik değerlerini ve koordinatlarını da birlikte bulmak ister misin?