ISINMA HAREKETLERİ
Bir ABC üçgeninde A köşesinin BC kenarına göre simetriği dış teğet çemberin merkezidir.
Buna göre m(widehat{BAC}) kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 85
E) 90
Üçgende Simetri ve Dış Teğet Çember İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Dış Teğet Çember Merkezinin Açısı: A açısına ait dış teğet çemberin merkezi I_a olmak üzere;m(\widehat{BI_a C}) = 90^\circ - \frac{m(\widehat{A})}{2}
- Doğruya Göre Simetri (Yansıma): Bir noktanın bir doğruya göre simetriği alındığında, oluşan doğru parçası yansıma doğrusuna diktir ve bu doğru parçası yansıma doğrusu tarafından ortalanır. Yansıma sonucunda uzunluklar ve açılar korunur:\triangle ABC \cong \triangle I_a BC \implies m(\widehat{BI_a C}) = m(\widehat{BAC})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Simetri ve İkizkenarlık Özelliğini Belirleme
A noktasının BC kenarına göre simetriği I_a noktasıdır.
- Bu durum, AI_a doğru parçasının BC kenarını dik kestiğini (AI_a \perp BC) ve BC tarafından iki eşit parçaya bölündüğünü gösterir.
- Bir üçgende tepe açısından çizilen açıortay doğrusu tabana dik ise bu üçgen ikizkenardır (|AB| = |AC|).
Adım 2 — Yansıma Sonucu Oluşan Açı Eşitliği
\triangle I_a BC üçgeni, \triangle ABC üçgeninin BC doğrusuna göre aynadaki görüntüsü (yansıması) olduğundan bu iki üçgen eştir:
m(\widehat{BI_a C}) = m(\widehat{BAC}) = A
Adım 3 — Dış Teğet Çember Açısı Formülünü Uygulama ve Denklemi Çözme
Bir üçgende A köşesine ait dış teğet çember merkezi I_a için B ve C köşelerindeki dış açıortayların kesişiminden:
m(\widehat{BI_a C}) = 90^\circ - \frac{A}{2}
Bu iki eşitliği birbirine eşitleyelim:
A = 90^\circ - \frac{A}{2}
A + \frac{A}{2} = 90^\circ
\frac{3A}{2} = 90^\circ
3A = 180^\circ \implies A = 60^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dış Teğet Çemberin Merkezi (I_a): Bir üçgenin bir iç açıortayı ile diğer iki köşesine ait dış açıortaylarının kesişim noktasıdır.
- Eşlik (Simetri): Bir doğrunun bir tarafındaki şeklin simetriği alındığında elde edilen şekil ilk şekil ile eştir (bütün kenar uzunlukları ve açıları aynı kalır).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İç teğet çember açısı formülü olan 90^\circ + \frac{A}{2} ile karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: Dış teğet çember merkezinin gördüğü açı 90^\circ - \frac{A}{2} formülü ile hesaplanır.
Dış teğet çember ve iç teğet çember merkezlerinin açı özellikleri arasındaki farkları pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?