Trigonometri Sorusu | 1775568716576

[Hicran_44 (Hicran)]

Soru:
Q(x) polinomunda her x gerçek sayısı için Q(x) = Q(-x)’tir. P(x) polinomu, Q(x) polinomunun karesine eşit ve P(x) = 4x^4 + (2a - b) \cdot x^3 + ax^2 + 4 olduğuna göre, b’nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Q(x) polinomunda her x için Q(x) = Q(-x), P(x) = Q(x)² ve P(x) = 4x⁴ + (2a - b)x³ + a x² + 4 olduğuna göre, b’nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Q(x) = Q(-x) olduğuna göre Q(x) bir çift fonksiyon, yani sadece çift dereceli terimler içerir.
• P(x) = Q(x)² olduğundan, P(x) de çifttir (çift fonksiyonun karesi de çifttir).
• Çift fonksiyonlarda yalnızca çift dereceli terimler bulunur; P(x) de öyle olmalıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Q(x) polinomunun biçimini belirle

Q(x) = q₀ + q₂ x² + q₄ x⁴ + … (sadece çift dereceli terimler)

En basit biçimde 2. derece polinom olduğunu varsayalım:

Q(x) = u x² + v

Adım 2 — P(x) = Q(x)² yazalım

P(x) = (Q(x))² = (u x² + v)² = u² x⁴ + 2 u v x² + v²

Adım 3 — P(x) polinomunu verilen ifadeyle karşılaştıralım

Verilen: P(x) = 4x⁴ + (2a - b) x³ + a x² + 4

Bizim açılımda x³ terimi olmamalı çünkü Q(x) çift fonksiyon → P(x) çift fonksiyon → x³ terimi yok.

Bu nedenle,

(2a - b) = 0 → 2a = b

Adım 4 — P(x)'nin diğer terimlerini karşılaştıralım

x⁴ terimi: u² x⁴ = 4 x⁴ → u² = 4 → u = ±2 (alabiliriz her iki değeri de)

x² terimi: 2 u v = a

sabit terim: v² = 4 → v = ±2

Şimdi a ve b’yi bulalım.

Adım 5 — a ve b ilişkileri

a = 2 u v

b = 2 a (Adım 3’ten)

Şimdi farklı durumları deneyelim:

1. u = 2, v = 2 → a = 2 * 2 * 2 = 8 → b = 2 * 8 = 16

2. u = 2, v = -2 → a = 2 * 2 * (-2) = -8 → b = 2 * (-8) = -16

3. u = -2, v = 2 → a = 2 * (-2) * 2 = -8 → b = -16

4. u = -2, v = -2 → a = 2 * (-2) * (-2) = 8 → b = 16

Yani b’nin alabileceği değerler: 16 ve -16

Adım 6 — b’nin alabileceği değerlerin çarpımı

16 × (-16) = -256

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -256

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Hicran_44 (Hicran)]

@sorumatik_uzman_bot evet

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Q(x) polinomunda her x için Q(x) = Q(-x), P(x) = Q(x)² ve P(x) = 4x⁴ + (2a - b)x³ + ax² + 4 olduğuna göre, b’nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Q(x) çift fonksiyon olduğundan yalnızca çift dereceli terimler içerir.
• P(x) = Q(x)² olduğunda, P(x) de çift fonksiyondur; dolayısıyla P(x)'de tek dereceli terimler olmamalıdır.
• Bu nedenle P(x)'deki x³ terimi katsayısı 0 olmalıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P(x)’de x³ terimini incele

P(x) = 4x⁴ + (2a - b) x³ + a x² + 4

Çift fonksiyon için x³ terim katsayısı sıfır olmalı:

2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a

Adım 2 — Q(x) polinomunun genel biçimi

Q(x) çift olduğuna göre, sadece çift dereceli terimler içerir. En yüksek 2. dereceden alalım:

Q(x) = u x^2 + v

Adım 3 — P(x) = Q(x)^2 açılımı

P(x) = (u x^2 + v)^2 = u^2 x^4 + 2 u v x^2 + v^2

Adım 4 — P(x)’nin terimlerinin karşılaştırılması

Verilen P(x):

4 x^4 + (2a - b) x^3 + a x^2 + 4

Bizim açılımda:

u^2 x^4 + 2 u v x^2 + v^2

Eşitlikler:

• u^2 = 4 \Rightarrow u = \pm 2
• 2 u v = a
• v^2 = 4 \Rightarrow v = \pm 2
• Daha önce: b = 2a

Adım 5 — Tüm olası kombinasyonları inceleyelim

1. u=2, v=2:

a = 2 \times 2 \times 2 = 8 \Rightarrow b = 2a = 16

2. u=2, v=-2:

a = 2 \times 2 \times (-2) = -8 \Rightarrow b = 2a = -16

3. u=-2, v=2:

a = 2 \times (-2) \times 2 = -8 \Rightarrow b=-16

4. u=-2, v=-2:

a= 2 \times (-2) \times (-2) = 8 \Rightarrow b=16

Adım 6 — b’nin alabileceği değerler: 16 ve -16

Çarpımları:

16 \times (-16) = -256

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -256

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sorumatik_GPT-5]

Q(x) polinomunda her x gerçek sayısı için Q(x) = Q(-x)’tir. P(x) polinomu, Q(x) polinomunun karesine eşit ve P(x) = 4x^4 + (2a - b) \cdot x^3 + ax^2 + 4 olduğuna göre, b’nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Çift polinom: Bir polinomun tüm terimleri yalnızca çift dereceliyse polinom çifttir (Q(x)=Q(-x)).
• Katsayı eşleştirme: İki polinom birbirine eşitse, aynı derecedeki terimlerin katsayıları eşittir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Q(x) polinomunun şeklini belirle

Q(x) çift polinom olduğundan yalnızca çift dereceli terimler içerir ve P(x) derece 4 olduğuna göre Q(x) en fazla derece 2’dir. Bu yüzden genel formu:

Q(x)=c x^{2}+d

Adım 2 — P(x)=Q(x)^{2} ifadesini aç

P(x)=\big(c x^{2}+d\big)^{2}

= c^{2} x^{4} + 2 c d x^{2} + d^{2}

Adım 3 — x^{3} terimi katsayısını karşılaştır

• Açılışta x^{3} terimi yoktur, yani katsayı 0’dır.

\text{P(x) verilen ifadedeki }x^{3}\text{ katsayısı }=2a-b

\text{Buna göre }2a-b=0

\Rightarrow b=2a

Adım 4 — x^{4}, x^{2} ve sabit terimleri karşılaştır

• x^{4} terimi:

c^{2}=4

\Rightarrow c= \pm 2

• Sabit terim:

d^{2}=4

\Rightarrow d= \pm 2

• x^{2} terimi:

2 c d = a

Adım 5 — Olası c,d kombinasyonlarından a’yı bul

Birinci kombinasyon:

c=2,\; d=2

a=2\cdot c \cdot d

a=2\cdot 2 \cdot 2

a=8

İkinci kombinasyon:

c=2,\; d=-2

a=2\cdot 2 \cdot (-2)

a=-8

Üçüncü kombinasyon:

c=-2,\; d=2

a=2\cdot (-2) \cdot 2

a=-8

Dördüncü kombinasyon:

c=-2,\; d=-2

a=2\cdot (-2) \cdot (-2)

a=8

Adım 6 — b değerlerini elde et

b=2a

• a=8 ise:

b=2\cdot 8

b=16

• a=-8 ise:

b=2\cdot (-8)

b=-16

Adım 7 — b’nin alabileceği değerlerin çarpımı

16 \cdot (-16)

= -256

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çift polinom

• Tanım: Bir polinomun tüm terimleri çift dereceliyse polinom çifttir (Q(x)=Q(-x)).
• Bu problemde: Q(x) yalnızca x^{2}, x^{0} gibi çift terimler içerir; bu nedenle Q(x)^{2} ifadesinde x^{3} terimi olamaz.

2. Katsayı eşleştirme

• Tanım: İki polinom birbirine eşitse, her derecedeki terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
• Bu problemde: Q(x)^{2} açılarak elde edilen katsayılar verilen P(x) ile eşleştirildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

x^{3} terimini görmezden gelmek

• Yanlış: P(x)'deki x^{3} terimini Q(x)^{2} ile eşleştirirken 0 yerine farklı bir değer kabul etmek.
• Doğru: Q(x) çift olduğundan Q(x)^{2} ifadesinde x^{3} katsayısı kesinlikle 0 olmalı; bu yüzden 2a-b=0 olmalıdır.
• Neden yanlış: Q(x) çift olduğunda tek dereceli terimler oluşamaz.
• Düzeltme: Önce Q(x)'nin çift olduğunu kullanarak x^{3} katsayısını sıfır al.

CEVAP: -256

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?