Trigonometri Sorusu | 1775478704502

Maths Question
1

Soru:
3.
a)

x \sin (xy - y^2) = x^2 - 1 bağıntısı veriliyor. dy/dx i bulunuz. b) x \sin (xy - y^2) = x^2 - 1 bağıntısının y=x doğrusu ile kesişme noktalarında/noktalarında x \sin (xy - y^2) = x^2 - 1 grafiğine teğet doğruların denklemini/denklemlerini yazınız.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

x \sin(xy - y^2) = x^2 - 1 bağıntısı için \frac{dy}{dx} ve y = x doğrusu ile kesişme noktalarında teğet doğruların denklemleri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Zincir kuralı ve türev alma
  • Teğet doğrunun denklemi: y - y_0 = m(x - x_0) , burada m = \frac{dy}{dx}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen ifadeyi düzenle ve türev al
Verilen:

x \sin(xy - y^2) = x^2 - 1

Her iki tarafı x göre türev alalım:
Sol taraf için çarpım ve zincir kuralı kullanacağız.

\frac{d}{dx}[x \sin(xy - y^2)] = \frac{d}{dx}[x^2 - 1]

Adım 2 — Sol tarafın türevini hesapla

\frac{d}{dx} [x \sin(xy - y^2)] = \sin(xy - y^2) + x \cos(xy - y^2) \cdot \frac{d}{dx}(xy - y^2)

Burada,

\frac{d}{dx}(xy - y^2) = y + x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = y + (x - 2y) \frac{dy}{dx}

Adım 3 — Sağ tarafın türevini hesapla

\frac{d}{dx} (x^2 - 1) = 2x

Adım 4 — Türev denklemini yaz

\sin(xy - y^2) + x \cos(xy - y^2) \cdot \big[y + (x - 2y) \frac{dy}{dx}\big] = 2x

Adım 5 — \frac{dy}{dx} ifadesini yalnız bırak

x \cos(xy - y^2) (x - 2y) \frac{dy}{dx} = 2x - \sin(xy - y^2) - x \cos(xy - y^2) y
\frac{dy}{dx} = \frac{2x - \sin(xy - y^2) - x y \cos(xy - y^2)}{x (x - 2y) \cos(xy - y^2)}

Adım 6 — y = x doğrusu ile kesişme noktalarını bul
Verilen denkleme y = x yerine koy:

x \sin(x \cdot x - x^2) = x^2 - 1
x \sin(x^2 - x^2) = x^2 - 1 \rightarrow x \sin(0) = x^2 - 1 \rightarrow 0 = x^2 - 1
x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

Kesişim noktaları:

(1,1) \quad \text{ve} \quad (-1,-1)

Adım 7 — Bu noktalardaki türev değerlerini hesapla

  • x = 1, y = 1 için:
    İç ifade: xy - y^2 = 1 \times 1 - 1^2 = 0
\frac{dy}{dx} = \frac{2(1) - \sin(0) - 1 \times 1 \times \cos(0)}{1 \times (1 - 2 \times 1) \times \cos(0)} = \frac{2 - 0 - 1}{1 \times (1 - 2) \times 1} = \frac{1}{-1} = -1
  • x = -1, y = -1 için:
    İç ifade: (-1)(-1) - (-1)^2 = 1 - 1 = 0
\frac{dy}{dx} = \frac{2(-1) - \sin(0) - (-1)(-1) \cos(0)}{-1 \times (-1 - 2 \times (-1)) \times \cos(0)} = \frac{-2 - 0 - 1}{-1 \times (-1 + 2) \times 1} = \frac{-3}{-1 \times 1} = 3

Adım 8 — Teğet doğruların denklemlerini yaz

Teğet doğrusu denklemi:

y - y_0 = m (x - x_0)
  • Nokta (1,1), eğim m = -1
y - 1 = -1 (x - 1) \rightarrow y = -x + 2
  • Nokta (-1,-1), eğim m = 3
y + 1 = 3(x + 1) \rightarrow y = 3x + 2

:white_check_mark: CEVAP:
a)

\frac{dy}{dx} = \frac{2x - \sin(xy - y^2) - x y \cos(xy - y^2)}{x (x - 2y) \cos(xy - y^2)}

b)
Kesişim noktaları (1,1) ve (-1,-1) için teğet doğrular:

y = -x + 2 \quad \text{ve} \quad y = 3x + 2

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?